Olimpiada Ley de Coulumb

[jovenpadawan]

Bueno pues tengo problemas con el siguiente problema:


El problema lo encuentro con la primera parte.Me pregunta sobre la magnitud de la fuerza, y para calcularlo lo he planteado asi :

$\vec{F}=2\vec{F} ya que F1=F2$

Sin embargo, obtengo lo siguiente:

$\vec{F}=-2\frac{KqQ}{\frac{{d}^{ 2}}{4 }+{x}^{2 } }\hat{\imath} (N)$

Pero como se puede ver en la imagen que el resultado es otro, y no se de donde sale.Del mismo modo dudo de porque no aparece la constante "K", es porque vectorialmente

$K =\frac{1}{4\varepsilon\pi }$ y en el vacio dado el valor de $\varepsilon$ es tal que finalmente K=1 ??

Finalmente,queria saber si en el caso de no considerar $x\approx 0$ , estaria mal?

Gracias de antemano

[arivasm]

Re: Ley de Coulumb

No es cierto que $F=2F_1$, sino que $F=2F_{1,x}$, de ahí que aparezca el $\cos\theta$. Piensa que las componentes Y de ambas fuerzas se anulan entre sí.

Respecto de la constante de Coulomb, en la respuesta usan unidades gaussianas, en las que K=1. Por supuesto, la respuesta general deberá incluirla.

Para encontrar la respuesta del apartado b) puede hacerse un desarrollo en serie de orden 1 para la fuerza resultante.

[angel relativamente]

Re: Ley de Coulumb

En primer lugar, dices que $F_1 = F_2$. Eso es cierto en módulo, pero observa las direcciones de los vectores. Si llamas $F$ al módulo de cada fuerza, tienes que la primera carga hace una fuerza de $\vec F_1 = -F \cos \theta \hat \imath + F \sin \theta \hat \jmath$, mientras que la segunda carga hace una fuerza $\vec F_2 = -F \cos \theta \hat \imath - F \sin \theta \hat \jmath$, por lo que la fuerza resultante será

$$\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 = -2F \cos \theta \hat \imath$$

Ahora solo te falta ver que

$$F=\dfrac{1}{4\pi \epsilon_0 } \dfrac{Qq}{x^2 + d^2 / 4 }$$

y que

$$\cos \theta = \dfrac{x}{\left(x^2 + d^2 / 4 \right) ^{1/2} }$$

Por lo que

$$\vec F = -\dfrac{1}{2\pi \epsilon_0 } \cdot \dfrac{Qqx}{\left( x^2 + d^2/4 \right)^{3/2} } \hat \imath$$

Y efectivamente la "K" se la han dejado. El el vacío ni por asomo el valor de $\epsilon_0$ es tal que $K=1$ en SI. Si bien existen otros sistemas de unidades donde sí toman esos valores, no es lo más cómodo para este tipo de ejercicios en los que generalmente trabajaras con SI.

Con respecto a lo de $x <<$ es para el apartado b), y lo que hace es considerar $x^2\approx 0$ en la aproximación (pero no puedes hacer $x\approx 0$ porque la $x$ aparece en el numerador y entonces te cargarías toda la expresión).

Saludos,

[jovenpadawan]

Re: Ley de Coulumb

Antes de nada gracias a los dos por responder, ya lo he hecho , finalmente es bastante sencillo.

En cuanto al apartado 2 , como se demuestra que es un M.A.S. ? Supongo que habra que conseguir su funcion de honda y para eso he leido y mirado algo sobre las series de Fourier y Taylor pero las matematicas usadas son demasiado complicadas y ni siquiera estoy seguro si ese es el camino.

puede hacerse un desarrollo en serie de orden 1 para la fuerza resultante.

Supongo que con esa "serie de orden 1" te refieres a alguna de las series mencionadas?

Hay algun otro camino( donde no haya que saber integrar) ?

[Visitante]

Re: Ley de Coulumb

Antes de nada gracias a los dos por responder, ya lo he hecho , finalmente es bastante sencillo.

En cuanto al apartado 2 , como se demuestra que es un M.A.S. ? Supongo que habra que conseguir su funcion de honda y para eso he leido y mirado algo sobre las series de Fourier y Taylor pero las matematicas usadas son demasiado complicadas y ni siquiera estoy seguro si ese es el camino.



Supongo que con esa "serie de orden 1" te refieres a alguna de las series mencionadas?

Hay algun otro camino( donde no haya que saber integrar) ?

Suponiendo que x es tan despreciable que las cargas q se quedan donde están, entonces, es un M.A.S. porque esta sometido a una fuerza recuperadora del tipo $-kx$, es decir, las fuerzas eléctricas sobre -q intentan llevar a esta carga a una posición de equilibrio en x=0 (a la mitad de la distancia entre ellas).
Pd: Por qué te refieres a las series de Taylor y Fourier?

[jovenpadawan]

Re: Ley de Coulumb

Si esa es la explicacion, sin embargo pide que lo "demuestre" ,he llegado hasta aqui :

$\vec{F}=\frac{-16KqQx}{ {d}^{3 }}\hat{\imath}$

Yo suponia que habria que hacer alguna demostracion matematica,y no la se, de ahi la locura de las series xD que son series que describen movimientos armonicos etc y pensaba que por ahi podian ir los tiros.

Con explicar lo que has dicho crees que seria suficiente , o con poner :

M.A.S. =>$\vec{F}= -kx$ ( que es la estructura que tiene la formula a la que llego)

Por tanto :

$kx$ = $\frac{16KqQx}{ {d}^{3 }}$

???

Un saludo

P.D : Me acabo de dar cuenta de que escribi mal el titulo del hilo, nose en que estaba pensando

[angel relativamente]

Re: Ley de Coulumb

La idea de las series de Taylor en la determinación de los MAS es simple. Te invito a que le eches una ojeada a lo que hace la serie de Taylor por internet, pero básicamente lo que hace es aproximar una función en un determinado punto por un polinomio (porque es una serie polinómica y normalmente para aproximar la cortamos en alguna potencia, dando así el polinomio de Taylor). En particular la función que nos interesa en el MAS es $E(x)$, esto es, la energía potencial en función de la posición de la partícula. Observa que cuando la carga $-q$ está en $x=0$ no tiene energía potencial, luego va adquiriendo poco a poco más hasta que frena y retrocede haciendo un movimiento periódico. Se tiene pues un mínimo de potencial en $x=0$ y ya sabes que los mínimos relativos en las gráficas tienen forma de U. Pues bien, se dice que un tal movimiento periódico de este estilo es MAS si la gráfica entorno al mínimo (x=0) podemos aproximarla por una parábola (polinomio de Taylor de orden 2). Se puede demostrar que en esos casos la fuerza será recuperadora del tipo $F=-kx$ como ya se ha dicho. Y en efecto con esto último te bastaba para resolver el ejercicio ya que observas que tu fórmula es de ese tipo y puedes hallar k. También recuerda que se relaciona el MAS con la expresión en función de la velocidad angular $a=-\omega ^2 x$. Con eso te debe bastar para el apartado c)

Ánimo si estás preparando unas olimpiadas, no se tu nivel pero sin duda esto es un nivel más alto del que te pedirán en selectividad.

[jovenpadawan]

Re: Ley de Coulumb

La idea de las series de Taylor en la determinación de los MAS es simple. Te invito a que le eches una ojeada a lo que hace la serie de Taylor por internet, pero básicamente lo que hace es aproximar una función en un determinado punto por un polinomio (porque es una serie polinómica y normalmente para aproximar la cortamos en alguna potencia, dando así el polinomio de Taylor). En particular la función que nos interesa en el MAS es , esto es, la energía potencial en función de la posición de la partícula. Observa que cuando la carga está en no tiene energía potencial, luego va adquiriendo poco a poco más hasta que frena y retrocede haciendo un movimiento periódico. Se tiene pues un mínimo de potencial en y ya sabes que los mínimos relativos en las gráficas tienen forma de U. Pues bien, se dice que un tal movimiento periódico de este estilo es MAS si la gráfica entorno al mínimo (x=0) podemos aproximarla por una parábola (polinomio de Taylor de orden 2). Se puede demostrar que en esos casos la fuerza será recuperadora del tipo como ya se ha dicho. Y en efecto con esto último te bastaba para resolver el ejercicio ya que observas que tu fórmula es de ese tipo y puedes hallar k. También recuerda que se relaciona el MAS con la expresión en función de la velocidad angular . Con eso te debe bastar para el apartado c)

Gracias por la explicacion ,cuando lo explicais aqui suena mas facil .

En cuanto al aparto 3 se me ha hecho muy facil partiendo de :$F=-{w}^{2 }mx$.

Ánimo si estás preparando unas olimpiadas, no se tu nivel pero sin duda esto es un nivel más alto del que te pedirán en selectividad.

Sí preparo las olimpiadas, me dan mas miedo que la selectividad la verdad, gracias por los animos

[Richard R Richard]

Re: Ley de Coulumb

Si esa es la explicacion, sin embargo pide que lo "demuestre" ,he llegado hasta aqui :

$\vec{F}=\frac{-16KqQx}{ {d}^{3 }}\hat{\imath}$

La ecuacion que te lleva a deducir el MAS es laecuacion diferencial de su función de onda

$\nabla^2\psi(\vec r, t)=\dfrac 1{v^2}\dfrac{\partial^2\psi<br /> (\vec r,t)}{\partial t^2}$


para el caso de tu problema en dos dimensiones es

$\vec{F}=m \vec a =m \dfrac{\mathrm{d^2 x}}{\mathrm{d t}^2}=\dfrac{-16KqQx}{ {d}^{3 }}\hat{\imath}=-Cte \cdot \vec x$

despejando de aqui llegas a que

$\dfrac{\mathrm{d^2 x}}{\mathrm{d t}^2}=-\mathcal{K} x$

esta ecuación diferencial tiene la solución

$x=X_o \sin(\omega t + \phi)$

que es un MAS cqd

por serie de Taylor o la Maclaurin puedes hallar un valor aproximado de la posicion x para un tiempo dado, aproximando la función seno por medio de un polinomio , pero por ese lado no vas a demostrar el movimiento armonico simple.

la aproximacion de taylor se hace de la siguiente manera

$f_{(x)}=f_{(x_0)}+f'_{(x_0)}(x-x_0)<br /> +f''_{(x_0)}\dfrac {(x-x_0)^2}{2!}<br /> +\ldots+f^{(n)}_{(x_0)}<br /> \dfrac {(x-x_0)^n}{n!}$

en el caso del seno

$\sin x = x-\dfrac {x^3}{3!}+<br /> \dfrac {x^5}{5!}-\dfrac {x^7}{7!}+\ldots=\dst\sum_{i=1}^{\infty}<br /> (-1)^{(i-1)}\dfrac {x^{(2i-1)}}{(2i-1)!}$

pero como te dije esto no hace ha la demostración de que la formula que te cite corresponda a un MAS, la forma de la ecuación diferencial a resolver y su resolución si.

[angel relativamente]

Re: Ley de Coulumb

Gracias por la explicacion ,cuando lo explicais aqui suena mas facil .

Te daré una pequeña pincelada más ya que lo has entendido sin intentar liarte. Un polinomio de Taylor de orden 2 (de una función f en el punto x=0)es de la forma $P_2(x)=f(0)+xf'(0)+\dfrac12 x^2 f''(0)$. Puedes verlo en la propia wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Taylor como define $f(a)$ y sustituir a por 0. Pues bien, si ahora lo que queremos aproximar es la función $E(x)$ (energía potencial) con un polinomio de orden 2 en torno a x=0 tenemos

$$E(x)=E(0)+E'(0)x + \dfrac{1}{2}E''(0)x^2$$

Ahora bien, observa que $E(0)=0$, ya que en $x=0$ la carga está entre las otras 2 y no hay fuerza recuperadora ninguna. Por otro lado $x=0$ es un mínimo de $E$, y sabes que en los mínimos la primera derivada se anula por lo que $E'(0)=0$. Por último queda ver $E''(0)$. Lo único que sabes es que será una constante positiva (porque está evaluada en un punto y porque es la segunda derivada en un mínimo), así que podemos llamarla $E''(0)\equiv k >0$. Esta constante dependerá de la naturaleza del problema (los agentes que causen esa energía potencial). Y sustituyendo en la expresión tenemos

$$\boxed{E(x)=\dfrac{1}{2} k x^2 }$$

¡Voilá! La expresión que conocías de la energía potencial de un MAS. Pasar de ahí a que la fuerza es del tipo $F=-kx$ es una simple derivada y un cambio de signo (revisa la relación entre fuerza y energía potencial). En tu ejercicio determinas la k recuperadora en función de las cargas y la distancia, y esa k no es más que el valor de la segunda derivada de la energía potencial en x=0.

Saludos,

[arivasm]

Re: Ley de Coulumb

También se pueden evitar las series de esta manera: partiendo de la solución correcta, $\dst\vec F=-2K\frac{Qqx}{\left(x^2+\frac{d^2}{4}\right)^{3/2}}\vec\imath$ entonces, si $|x|\to 0$, esto es, si $|x|<<d/2$ la $x^2$ del denominador es despreciable frente a $d^2/4$, de manera que $\dst\vec F\approx -2K\frac{Qqx}{d^3}\vec\imath$, de modo que tienes una fuerza que cumple la ley de Hooke siendo $\dst m\omega^2=2K\frac{Qq}{d^3}$.