Secundaria Demostración ley de ohm

[alexpglez]

Una vez estuve buscando pero no encontré demasiado al respecto, sé que no es una fórmula fundamental del electromagnetismo, si no que es derivada de las leyes de maxwell y de la teoría de electrones en conductor, y tiene dos formas, una densidad de corriente y campo eléctrico, y otra escalar V=RI. Y finalmente también me gustaría saber, el por qué de la definición de la resistencia y la fórmula de su cálculo en un conductor R=pS/L, o mejor dicho como se acaba deduciendo.
Si alguien puede decirme por donde van los tiros para demostrarla, que sepa de algún link, o que la demuestre, estaría muy agradecido .

Un saludo, gracias otra vez.

[Alriga]

Re: Demostración ley de ohm

La forma puntual de la Ley de Ohm, que se deduce de las Ecuaciones de Maxwell, dice que la Densidad de Corriente es igual a la Conductividad por el Campo Eléctrico

$J=\sigma E$

A partir de ella por integración se obtienen las fórmulas habituales.
He encontrado este enlace, en el que hace la deducción, si tienes dudas continua preguntando, pues en este Forum he visto que hay bastante gente que sabe muchísimo sobre el tema, (y que no soy necesariamente yo)

http://personales.unican.es/peredaj/...-Corriente.pdf

Saludos.

[Julián]

Re: Demostración ley de ohm

El campo eléctrico se lo define como la fuerza eléctrica que sentiría una partícula positiva de carga electrica igual a la unidad en un punto del espacio.

$\dst \vec{E} =\frac{ {\vec{F}}_{e}}{q }$

Si hacemos un diagrama dinámico de la fuerza que actúan sobre una carga eléctrica (por ejemplo un electrón)será:

$\dst \sum_{i = 1}^n {\vec{F}}_{i e} = m \vec{a} \to = \sum_{i = 1}^n -e {\vec{E}}_{i } = {m}_{e} \vec{a}$

a esa sumatoria de fuerzas eléctricas, al ser magnitudes vectoriales podemos sumarlas y considerar la fuerza resultante

$\dst -q \vec{E} = m \vec{a}$

Pero cuando se aplica un campo eléctrico a un material se observa que este se calienta y parte de la energía se aplica en calor y no solo en cambiar su energía cinética, por lo tanto la ecuación dinámica será:

$\dst - \vec{E} e= {m}_{e} \frac{d \vec{v}(t)}{dt }+ \alpha \vec{v}(t)$(*) donde $\alpha = Newtons / (m/s)$

$\alpha \vec{v}$ es la fuerza que surge de las colisiones de los electrones con los átomos fijos del material y de las colisiones con ellos mismo, a su vez a mayor velocidad mayor fuerza en la reacción de las colisiones.

Si te fijas, en primera instancia v(t) = 0 y por lo tanto $-q \vec{E} = m \frac{\vec{v}(t)}{dt }$, aumenta la velocidad y aparece $\alpha \vec{v}$ hasta que:

$\dst- \vec{E} e= \alpha \vec{v}$

Si ves la ecuación diferencia (*), su solución da que la velocidad tiende a un valor constante, ya que, su solución tiene la forma:
$\dst v(t) = \frac{-e E}{\alpha } (1-{e}^{-\frac{\alpha }{m }t})$
por lo tanto el análisis se puede hacer con una velocidad promedio que adquieren los electrones:

$\dst - \vec{E} e= \alpha \vec{{v}_{m}}$

y $\dst \vec{{v}_{m}} = \frac{\vec{E} e}{ \alpha }$

En los materiales existen una densidad volumétrica de cargas $\rho$

$\dst \rho \vec{{v}_{m}} = \frac{\vec{E} \rho e}{ \alpha }$

$\dst \vec{J }=\rho \vec{v}$ y $\dst \sigma =\frac{ \rho e}{\alpha } = \frac{{e}^{2}}{ {m}^{2} N s }$

de manera que $\vec{J} = \sigma \vec{E}$

$\sigma$ recibe el nombre de conductancia.

la tensión, si el campo eléctrico es constante, es $V = \frac{E}{m }$ y la corriente es: $\dst \vec{J} {m}^{2}$

$\dst I = \frac{\sigma {m}^{2}}{m } V = \frac{\sigma A}{l } V$

en donde $A$ es el area del conductor y $l$ su longitud. Por lo tanto eso es la conductancia y la conductancia es la inversa de la resistencia:

$I = C V$ o $I R= V$

Así que la ley de ohm se aplica solo a partículas que interaccionan entre estas y con átomos fijos en colisiones.

[alexpglez]

Re: Demostración ley de ohm

Vale Julián, muchas gracias, sólo unas dudas, la fuerza de interacción de los choques ¿es una hipótesis, o se puede demostrar que de media, la fuerza obserada es - proporcional a la velocidad? Y sobre el efecto Joule consecuencia de los choques, ¿la potencia disipada es por la fuerza de los choques, pero por conservación de la energía y suponiendo que se pierde energía, con la condición de que las energías cinéticas final e inicial son 0, se saca la expresión P=RI^2?

[arivasm]

Re: Demostración ley de ohm

Aclaremos que la ley de Ohm se sigue de la *hipótesis* de que la velocidad media de los portadores de carga es proporcional a la intensidad del campo eléctrico aplicado. Eso implica, en primer lugar, que se trata de una aproximación toda vez que se omiten las verdaderas claves de la conducción eléctrica que, por supuesto, son de tipo cuántico. Por tanto, no necesariamente la ley de Ohm será aplicable a todos los materiales (de hecho los superconductores y los semiconductores no lo hacen), así como que, en sentido estricto, aquellos que si la cumplen lo hacen en realidad de un modo aproximado, del que se desvían a medida que se extreman las condiciones.

[Julián]

Re: Demostración ley de ohm

Vale Julián, muchas gracias, sólo unas dudas, la fuerza de interacción de los choques ¿es una hipótesis, o se puede demostrar que de media, la fuerza obserada es - proporcional a la velocidad?

Se observa en el efecto joule. De antemano Coulomb demostró que entre cargas media una fuerza y esta como toda produce una variación de momento cinético. La temperatura en un sólido es el promedio de la energía cinética vibracional por lo que algo le transmite momento a las partículas fijas y por lo tanto en última instancia es el campo eléctrico que solo puede ascelerar a las cargas libres fuera del pozo de potencial del átomo y por lo tanto son los choques los que le transmiten momento.
El análisis de la fuerza de arrastre $\alpha \vec{v}$ es un análisis clásico, denominado modelo de drude:
https://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_de_Drude

Efectivamente como dice arivasm al subatómicas las particulas el modelo más exacto es el modelo cuántico:



$\frac{i h}{2 \pi }(\Psi (t)) = \frac{h}{2 \pi } \frac{{\hat{P}}^{2}}{ 2 {m}_{e}} \Psi (t) + V(\vec{r},t) \Psi (t)$

Que para un átomo aislado obtendrás funciones de onda que corresponden a los orbitales conocidos. Y en una red obtendrás una función de onda de N partículas. Con esta función de onda y utilizando el principio de exclusión de Pauli, la distribución de los electrones en una red cristalina está dado por la distribución de fermi dirac

$\dst f (n, T)=\frac{1}{ {e}^{\frac{E-{E}_{f}}{{K}_{B}T} +1}}$ Si observas bien la distribución electrónica en las bandas es funcion de la temperatura T, E es la energía de la banda y Kb es la constante de boltzman. La energía del orbital mayor corresponde a la energía de fermi ${E}_{f}$

Como estos son fermiones no pueden ocupar el mismo estado, lo anterior da niveles energéticos que pueden estar llenos (como un nivel energético de valencia), casi lleno, vacio o casi vacio. Los niveles energéticos llenos no conducen debido a que están ocupados, los casi lleno conducen por desplazamiento electrónico entre las bandas vacias contiguas y los casi vacios conducen debido a que los fermiones tienen un gran avanico de estados en que ocupar.

Los conductores tienen electrones que escaparon del pozo de potencial por la energía térmica y se encuentran en bandas casi vacias. Al aplicar un campo eléctrico aumenta el potencial y por lo tanto las cargas pasan a bandas energéticas todabía más elevadas y como quedaron estados energéticos desocupados en niveles inferiores las cargas tienden a moverse a ellos, desplazandose.


En la imagen ,la ultima grafica se ve como hay una diferencia de energía entre el lado izquierdo y derecho debido a una densidad de carga neta en lados de una pastilla semiconductora (como se observa en la antepeúltima grafica) por lo que los electrones de conducción tienden a ir al lado derecho porque hay estados desocupados (ya que los estado ocupados está delimitados por el nivel de fermi que es la linea con puntos) y en Ev que es la banda de valencia van hacia la izquierda que hay estados desocupado para la vanda de valencia.

PD: para que un electrón de conducción valla del lado derecho al izquierdo debe adquirir la suficiente energía para saltar esa diferencia de potencial (esa energía se la puede dar un fotón, en fin es térmica), aunque ahi por la característica ondulatoria del electrón puede darse el efecto tunel. El eje horizontal de la gráfica no es espacio, no te confundas, no tiene dimensión es solo para dar una imagen mental esa gráfica. En definitiva, como los electrones están modelados mediante su función de onda no tiene sentido hablar de donde está el electrón y si de que energía o nivel energético ocupa pero efectivamente al aplicar una diferencia de potencial, el potencial negativo aumenta el nivel energético de estos y tienden a disminuir su energía cayendo a los estados descupados energéticos inferiores.

Pero esa conductividad depende del número de estados libres, un electrón al ser un fermión no puede decaer a un estado ocupado. La colisión se produce cuando un electrón del nivel de valencia aquiere energía y escapa de ese nivel asi que un electrón de conducción cae en este, ahi transmisión de fotón y por lo tanto momento transmitido y calor.

La verdad que no sé como llevar este modelo al modelo clásico y la ley de ohm, es todo estadístico y cuántico. No todos los fotones escapan del conductor probabilísticamente algunos son aborvidos por otros electrones, etc.

http://www.fing.edu.uy/if/cursos/fismod/extras/kp.pdf

[alexpglez]

Re: Demostración ley de ohm

Perdonad, se me pasó responder en su momento:
Gracias Julián! Cuando tenga tiempo lo miraré con detenimiento todo el mensaje, pero lo cierto es que a las ecuaciones diferenciales del átomo de hidrógeno (sin relatividad ni espín) todavía me cuesta pillar cosas sobre las matemáticas, y sistemas multipartículas no he mirado demasiado, de demostración de los diferentes principios.. Se me queda un poco lejos pero gracias.
Sé que el modelo clásico sólo es una aproximación muy buena pero que no puede explicar semiconductores, diodos, transistores.. Pero aún así me intereso porque nunca lo he visto demostrado:
La demostración que hizo Julián funciona para corriente continua, ¿para corriente alterna donde E(t) se puede demostrar que se sigue cumpliendo simplemente suponiendo por observación del efecto Joule hay una fuerza extra k*v?
Sobre el efecto Joule, (aunque no es específicamente del hilo), ¿cómo se demuestra? P=W'; En corriente continua V'=0; W=qV; P=q' V=I V; pero en alterna no sería P=IV+qV'¿?
Parece mucho más complicado.. pero se podría demostrar también a partir de estos principios del efecto Joule y la fuerza extra k*v, que una resistencia al calentarse la R se hace mayor¿? https://en.wikipedia.org/wiki/Electr...ure_dependence

[Julián]

Re: Demostración ley de ohm

¿para corriente alterna donde E(t) se puede demostrar que se sigue cumpliendo simplemente suponiendo por observación del efecto Joule hay una fuerza extra k*v?

Exactamente, el desarrollo es el mismo a diferencia que el campo eléctrico varía en módulo y/o dirección. De manera tal que la ecuación que expresa el movimiento tiene la forma de

$- \vec {E}(t) e - \alpha \vec{v}}(t) = {m}_{e} \frac{\mathrm{d} v(t) }{\mathrm{d} t}$

Si el campo varía en forma senoidal ${E}_{0} sin (t)$para dar un ejemplo de alguna señal la velocidad de los electrones será:

$\dst v(t) = \frac{e{E}_{0}}{1-{\frac{{m}_{e}}{\alpha }}^{2} }(\frac{{m}_{e}}{\alpha }{e}^{-\frac{\alpha}{{m}_{e} }t} - \frac{{m}_{e}}{\alpha } cos (t) + sin (t) )$

El término $\frac{{m}_{e}}{\alpha }{e}^{-\frac{\alpha}{m }t}$ constituye un transisotrio y se extingue pero al pasado un tiempo la velocidad es variable y no tiende a un valor medio fijo como antes pero si luego de un transistorio pasa a un régimen permanente.

$e{E}_{0} sin (t)=\frac{e{E}_{0}}{\alpha } (cos (t) + sin (t) )$ en donde $e {E}_{0}$ tiene unidades de newton y $\alpha$ de newton sobre velocidad por lo que el módulo es velocidad. Para la obtención de la ley de ohm se sigue el procedimiento habitual y se obtendrá que la densidad de corriente es variable y varía en función de $(-cos (t) + sin (t) )$

Sobre el efecto Joule, (aunque no es específicamente del hilo), ¿cómo se demuestra? P=W'; En corriente continua V'=0; W=qV; P=q' V=I V; pero en alterna no sería P=IV+qV'¿?

Si la fuerza sobre un electrón es:
$\dst \vec{F}(t)=-e\vec{E}(t)$ y la potencia es $\dst P = \vec{F}(t).\vec{v}(t) = \left\vert{} \vec{F}(t) \right\vert{} \left\vert{} \vec{v}(t) \right\vert{} cos (\phi)$ entonces $P= e\left\vert{} \vec{E}(t) \right\vert{} .\left\vert{} \vec{v}(t) \right\vert{} cos (\phi) =e E(t) v(t) cos (\phi) = e E(t) v(t)$

y sabiendo que hay una densidad volumetrica de electrones, la potencia total es la sumatoria de las potencias que adquieren todos los electrones

$\dst P ={\sum}_{i}^{n} E(t) ( {e}_{i} v(t))= E(t) n e v(t) = E(t) \rho v(t) = E(t) J(t) = V(t) I(t)$

Donde n es el número de electrones sobre unidad de volumen. Como entre $E(t)$ y $J(t)$ media la conductividad o $V(t)$ y $I(t)$ la conductancia o resistencia, tomando $E(t)$ y $J(t)$ como ejemplo, la potencia es:

$\dst P = E(t) \sigma E(t) = \sigma {E(t)}^{2}$ o $\dst P = \frac{J(t)}{\sigma}J(t)=\frac{{J(t)}^{2}}{\sigma}$
Así que queda en evidente que la potencia depende de [tex]\sigma[/tex ] que en parámetros globales (usando V y I en vez de E y J) es la conductancia y la inversa de la resistencia.

Y si te fijas en mi post anterior $\sigma$ es $\dst \sigma =\frac{ \rho e}{\alpha }$ que depende de $\alpha$ por lo que mientras mayor sea el coeficiente de la fuerza de arraste menor conductancia por lo que mayor resistividad. Así que la resistencia de un material tiene completo efecto en la potencia. Y se demuestra que en este modelo para explicar el efecto joule es necesario la fuerza de arrastre $\alpha v$ ya que se observa que al circular corriente hay aumento de temperatura y por lo tanto potencia aplicada.

una resistencia al calentarse la R se hace mayor

Esto es una propiedad del material más que del efecto joule ya que la conductividad es función de la temperatura.
Por lo que hay que agregar una variable más al efecto joule:
$\dst P = {E(t)}^{2} \sigma (T) = \frac{{J(t)}^{2}}{\sigma (T)}$
o en parámetros globales:
$\dst P = \frac{{V(t)}^{2}}{R (T)} = {I(t)}^{2} R(T)$

Y por supuesto como la temperatura es función del efecto joule que está dado por $P=E(t) J(t)= W'$ y la temperatura

$\dst T = \frac{Q}{m C } = \frac{W' }{m C } = \frac{1 }{ m C} \int E(t) J(t) d t$

Y la conductivad varía en función de la temperatura en una forma de:

$\dst \sigma (t) = {\sigma}_{0} b ( T - {T}_{0}) = {\sigma}_{0} b ( \frac{1 }{ m C} \int E(t) J(t) d t -{T}_{0})$

$\dst P = {E(t)}^{2} {\sigma}_{0} b ( \frac{1 }{ m C} \int E(t) J(t) d t - {T}_{0})$

Situación que por lo general no se considera porque se establece luego del transistorio término una temperatura constante mediante disipaciones, es por esto que tu microprocesador tiene un buen disipador.