Otras carreras dudas varias sobre circuitos, leyes de kirchoff, efecto joule, condensadores, etc

[alexpglez]

Buenas, tenía varias dudas, un poco desorganizadas, ya que lo estoy tratando de analizar por mi cuenta (usando a veces internet), asi que pido disculpas. Desde el principio, tengo dudosas ciertas convenciones de signo, ya que, para simplificar se evitan a veces usarse sobreentendiendose que disipa o radía energía por ejemplo.
Vamos por la ley de Ohm, como observamos en principio una disipación (efecto Joule), además del campo eléctrico en la pila, se añade a la fuerza eléctrica, una disipativa proveniente de los choques internos de átomos y electrones.

$$\dot \vec v= \frac{q \vec E}{m}-\frac{\alpha}{m} \vec v$$

Que nos da una solución:

$$\vec v=[\vec v_0 + \int_0^t \frac{q \vec E}{m} e^{\frac{\alpha}{m}t} dt ]e^{-\frac{\alpha}{m}t}$$

Consideramos que en el conductor, las cargas van a estar inicialmente en reposo, y si además consideramos una solución del campo constante:
Duda 1): No sé si se puede.. he intentado demostrar generalmente para cualquier función del tiempo E(t), expresándola mediante una transformada de fourier.. pero no veo que me lleve a ningún resultado que pueda aproximar tan claro como el campo constante...

$$\vec v=\frac{q \vec E}{\alpha} (1-e^{-\frac{\alpha}{m}t})$$

Y asintóticamente va a tender a una velocidad "media", multiplicando por la densidad de carga:

$$\vec J= \rho \vec v=\frac{\rho q}{\alpha}\vec E=o\vec E$$

Donde o es la conductividad, y está claro que es positivo para partículas cargadas positiva y negativamente, ya que aparece el valor absoluto de la carga * el valor absoluto de la densidad de carga * el signo de la carga ^2.
Ahora para sacar la ley de ohm circuital, consideramos dS y dl, paralelos al campo eléctrico y la densidad de corriente:
Duda: 2) No veo muy claro que sentido tienen dS y dl con respecto al campo eléctrico y la densidad de corriente, si en sentido de éstos o en el sentido de circulación de los electrones (o sea el contrario) (lo voy a considerar el mismo...)

$$I=\iint \vec J \cdot d \vec S=JS$$

$$\Delta V= - \int \vec E \cdot d \vec l=-E \Delta l= -I \frac{\Delta l}{o S}=-RI$$

Duda 3) Para el tratamiento de cables que se ensanchan y/o que su conductividad varía, cómo se convertiría ésta fórmula en integral? Puede: $R=\int \frac{dl}{o dS}$? (ya que de $\Delta \rightarrow d$) Pero sin embargo, E y J son constantes, me sale por el método anterior que la integral pasa a una multiplicación... ¿?
Duda 4) El criterio del signo en la variación de potencial, a veces aparece menos la integral y otras veces (más) la integral.¿?
Duda 4.1) la mayoría de las veces he visto: $\Delta V=RI$ y en algunos textos $\vec J=-o\vec E$. Sobre lo primero creo que simplemente hay que tener en cuenta que cae la tensión y se sobreentiende el signo menos¿? Sobre lo segundo, depende de que consideres, que J tiene el mismo sentido que los electrones o el contrario, es decir, como p es negativo, considerar la densidad como -pv (o valor absoluto p *v)¿?

Una observación de la ley de ohm que hice fue calcular su divergencia, pero no logro interpretar su significado:

$$\vec \nabla \cdot \vec J= \vec \nabla \cdot o\vec E$$

Y por la conservación de la carga y la ley de gauss:

$$-\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{o}{\epsilon_0} \rho$$

Duda 5) ¿Qué significa?

Para las leyes de kirchoff, simplemente, observamos que la densidad en un conductor aparece constante. Es decir:

$$\vec \nabla \cdot \vec J=-\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$

$$I_{closed}= \oiint \vec J d \vec S=0$$

Y la segunda ley de kirchoff:
Duda 6) campo eléctrico conservativo o no conservativo¿?, si lo considero conservativo:

$$V_{closed}=-\oint \vec E d \vec l=0$$

Contando en el V, el voltaje suministrado por la pila, y el voltaje perdido en cada componente (contando la resistencia interna de la pila)¿?
Si lo considero que el campo que suministra la pila es no conservativo:

$$\oint E d \vec l=\oint \vec E_{fem} d\vec l=\Delta U=\int \vec E_{pila} d \vec l + \int \vec E_{comp} d \vec l=......= r_i I+ RI+...$$

Donde r_i es la resistencia interna de la pila, y el resto sería la resistencia del cable o de lo que haya, más el resto de componentes.. Pero esto me lleva a lo mismo que planteé antes..

Para el condensador, sé que simplemente es colocar 2 placas (unidas por un dieléctrico). Por ley de gauss, calculas el campo de cada placa y después las superpones... pero cómo sé que cada placa estará igualmente cargada (con signos opuestos)¿?
Por intuición, aplicando la primera ley de kirchoff, encerrando la superficie al condensador, de tal forma que solo lo atraviesen los cables. Las corrientes de salida y entrada deben ser iguales, y por tanto se cargarán igual (una porque va la corriente hacia allí y la otra porque la corriente sale de allí hacia la pila). Es decir, la carga del condensador total es 0, la carga de una placa será $q_1=\int I_1 dt$, la otra $q_2=-\int I_2 dt$ y $I_1=i_2$, $q_1 + q_2 =\int I_1 dt-\int I_2 dt=\int I_1 dt-\int I_1 dt=0$.
Duda 7) Lo que trato es encontrar de manera justificada matemáticamente el signo menos de: $q_2=-\int I_2 dt$, ya que la definición es $q=\int I dt$, (y no quiero ningún argumento intuitivo como el que he utilizado antes, una corriente llega y la otra sale del condensador)..
Duda 8) En el condensador obviamente varían las densidades de carga, con qué ecuaciones puedo jugar con ellas para saber como varían con el tiempo¿?

Efecto Joule: he visto e intuido varias demostraciones pero me lío con el convenio de signos y otras cosas:
El trabajo externo hecho por la fuerza disipativa va a ser igual a la variación de la energía (y potencial, ya que cuando enciendes y apagas la pila, los electrones de media están quietos).

$$\Delta E= \Delta q V=W \;\;\;\; \frac{dW}{dt}=\frac{dq}{dt}V=VI$$

De esta forma no me cuadra, ya que la V varía también y por una parte yo incluiría un término V'q...

$$\frac{d\vec F}{dq}=\vec E \;\;\; \frac{dE_p}{dq}=V \;\;\; \frac{dE_p}{dt}=\frac{dW}{dt}=VI$$

No.. me convence del todo, creo que tengo algún fallo de razonamiento.

$$P=\vec F \cdot \vec v=q\vec E \cdot v=\iiint \vec E \cdot \vec J dV=\iiint E dl J dS=-VI$$

Aquí me sale un signo negativo.... Y dudo ya que hay fuerza por parte de $-\alpha v$
Y al sustituir en P=VI la fórmula para la resistencia me sale un signo negativo refieriendose que disipa, mientras que el generador un signo positivo ya que da energía.. y se cumple el principio de conservación de la energía al cancelarse las potencias..

Y otra duda, era sobre cómo a partir de las cantidades V e I, puedo sacar J y E (ya que se me resiste el interpretar las derivadas parciales), así jugar con las ecuaciones de maxwell para sacar campos magnéticos producidos por ejemplo..

Muchas gracias, Un saludo

[visitante20160513]

Re: dudas varias sobre circuitos, leyes de kirchoff, efecto joule, condensadores, etc

Buff, que cacao. Es mejor que no trates de razonar por tu cuenta hasta que te familiarices con la teoría ortodoxa que puedes encontrar en cualquier buen libro, y que está acorde con las propiedades del campo en los conductores y con las ecuaciones de maxwell por supuesto. Una vez hecho eso ya puedes intentar razonar por tu cuenta, pero lo que expones solo demuestra muchos conocimientos de matemáticas y muy pocos de física. No debes confundir una cosa con la otra, un poco de orden te vendrá bien, de otra forma no hay quien te siga. Tan solo intentar leer lo que has expuesto da grima.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: dudas varias sobre circuitos, leyes de kirchoff, efecto joule, condensadores, etc

Acá, en la duda 1) no entiendo bien cual es tu inquietud:

Duda 1): No sé si se puede.. he intentado demostrar generalmente para cualquier función del tiempo E(t), expresándola mediante una transformada de fourier.. pero no veo que me lleve a ningún resultado que pueda aproximar tan claro como el campo constante..

Por supuesto en el campo constante resolver la ecuación diferencial es más fácil y queda la expresión que adjuntas, que luego de un intervalo de tiempo denominado transistorio se llega a un velocidad media. Ahora para cualquier otra función del campo que dependa del tiempo por cada función tienes una expresión diferente de la velocidad, creo que en un hilo anterior resolví para una función del campo eléctrico senoidal. Por último ten en cuenta que la transformada de fourrier es para régimen permanente y no tiene en cuenta el transistorio, ahí tienes que usar la transformada de laplace.

2) No veo muy claro que sentido tienen dS y dl con respecto al campo eléctrico y la densidad de corriente, si en sentido de éstos o en el sentido de circulación de los electrones (o sea el contrario) (lo voy a considerar el mismo...)

El sentido se los das vos, depende por ejemplo para dl donde consideras positivo la dirección y lo mismo para dS.

$\dst {\oint}_{s} \vec{E} d\vec{S} = {\int}_{V} \frac{\rho}{\varepsilon} dV = \frac{Q}{\varepsilon}$

A su vez la otra forma de generar un campo eléctrico es por $\dst {\oint}_{l} \vec{E} .d \hat{l} = - \frac{d}{dt} {\int}_{S} \vec{B} d\vec{S}$ Acá todo depende de para donde definas positivo $d \vec{l}$ y $d \vec{S}$ y obtendrás las direcciones de los campos.

Esas son las relaciones que son fundamentales, ten en cuenta el signo, por ejemplo en la ley de faraday si el cambo B tiene el mismo sentido que dS entonces el campo E rota en sentido opuesto al que consideraste positivo. Si tomas un sentido en todos los calculos tendrás que mantenerlos pero si quieres seguir las convenciones, que son usadas en las mayorías de los libros, por ejemplo el del flujo eléctrico: Si la carga Q es positiva, por definición el flujo es saliente y si Q es negativa el flujo es negativo, siendo $dS$ la dirección saliente a la superficie gausiana y $dl$ en la curva cerrada el sentido es el antihorario. Por ejemplo de esta manera se define al campo eléctrico cuyo sentido va de la carga positiva a la negativa pero tu si quieres lo defines alreves solo que deverás seguir y mantener ese sentido todo el tiempo, ya que solo te cambia un signo, de manera tal que si definiste el sentido del campo de negativo a positivo, la relación $\vec{E} \sigma = \vec{J}$ si se mantiene, por lo que las cargas negativas en tu nueva consideracion tienen el mismo sentido que E y las positivas el contrario. ¿entiendes? hay cosas por definición, por ejemplo el electrón no tiene un cartel que dice yo soy negativo pero si las relaciones fundamentales de la naturaleza se tienen que mantener. Como: $\vec{E} \sigma = \vec{J}$ o $\dst {\oint}_{l} \vec{E} .d \hat{l} = - \frac{d}{dt} {\int}_{S} \vec{B} d\vec{S}$, ahi por ejemplo en la ecuación de faraday hay un signo menos, que te dice que no importa que signo tomes del campo magnético y del dS, el rotacional del campo eléctrico irá para el lado contrario al que tomaste positivo.

Duda 3) Para el tratamiento de cables que se ensanchan y/o que su conductividad varía, cómo se convertiría ésta fórmula en integral? Puede: ? (ya que de ) Pero sin embargo, E y J son constantes, me sale por el método anterior que la integral pasa a una multiplicación... ¿?

Si varía de esa forma. Pero E y J no son constantes sino que J depende del la superficie del cable (ancho), es por eso que se usan los conceptos de potencial y corrientes ya que

$I = {\int}_{s} \vec{J} . d\vec{S}$ así que I no depende del ancho. y $V = {\int}_{l} \vec{E} d \vec{l}$ y el potencial no depende del largo. Así por ejemplo la corriente es constante en una rama pero J no, sino que varía según las secciones que valla tomando el conductor o semiconductor.

Con respecto al signo de la integral, se define potencial como:

$\dst V = {\int}_{A}^{ref} \vec{E} d\vec{l} = 0-{V}_{A}=- {V}_{A}$ el pto de referencia es donde el campo eléctrico es cero.

La diferencia de potencial, es como toda diferencia entre 2 puntos:

$\dst {V}_{A} - {V}_{B} = {\int}_{A}^{ref} \vec{E} d\vec{l}$

Si el potencial es el trabajo del campo eléctrico en llevar una carga de 1 coulomb hasta una distancia infinita, la diferencia de potencial es el trabajo del campo eléctrico en mover la carga entre ambos puntos.


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Si quieres entender un poco más los conceptos de capacitor, inductor, resistencias acá tengo un resumen de teoría de circuito, que nunca terminé, ni siquiera llegando a la cuarta parte de lo que es la materia que trata sobre la resolución de circuitos mediante la transformada de laplace, teoría de cuadripolos, y el diseño de filtros analógicos y digitales. Le saqué todo y dejé la parte introductoria.

Teoría de los circuitos 2.zip

En cambio si quieres conocer como se analizan físicamente, mediante las ecuaciones de maxwell, los campos en conductores, aislantes, campor radiados, te paso esto que es sobre medios de enlaces que empieza con ló básico de electromagnetismo (básico pero usando herramientas de cálculo avanzado) para tratar temas como antenas, guias de onda, lineas de transmisión, fibras ópticas, etc. En dicho documento a su vez está como se da el flujo de potencia, dado por el teorema de poynting.


https://mega.nz/#!EwMESLSK!H8mBg7vQq...y7l_q8Q1aAw5_Q