1r ciclo Cuestión sobre electrostática

[Etmoides]

Hola, un problema pregunta lo siguiente:

"Dada un conductor esférico de radio R y carga Q y una distribución esférica de cargas de mismo radio y carga, sin hacer cálculos, ¿cuál de las dos presenta mayor energía electrostática? ¿por qué?"

¿Puede decirme alguien cuál es la respuesta y por qué? Gracias de antemano

[Alriga]

Re: Cuestión sobre electrostática

Si no me he equivocado,

Energía conductor esférico:

$U_{ce} =\dfrac{1}{2} \dfrac {Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R}$

Energía distribución esférica homogénea de carga:

$U_{de} =\dfrac{3}{5} \dfrac {Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R}$

Como $\dfrac{3}{5} > \dfrac 1 2$

la distribución esférica tiene más energía

Saludos.

[Etmoides]

Re: Cuestión sobre electrostática

Gracias, Alriga, pero ¿cómo has calculado los campos?
Por otra parte, el problema dice que hay que averiguarlo sin hacer cálculos... ¿No puede razonarse de alguna manera a priori?

[arivasm]

Re: Cuestión sobre electrostática

Sin hacer ningún cálculo: en un conductor esférico la carga está distribuida sobre su superficie. Está claro que la distancia media entre dos elementos de carga será mayor en este caso que si las cargas están distribuidas por todo el volumen. Consecuencia: la energía del conductor es menor que en la distribución.

Siguiendo otro enfoque, aunque en el fondo es el mismo: la distribución de equilibrio para las cargas de un conductor esférico evidentemente corresponderá a la de menor energía de todas las posibles (pues ésa es, precisamente, la condición de equilibrio de un sistema: ser un extremo local, que será mínimo si se trata de un estado estable).

Por cierto, el cálculo que hace Alriga es, si no me equivoco, para una distribución homogénea de carga. El enunciado no determina eso, sino que *toda* distribución de carga (homogénea o no, tanto en lo radial como en sus componentes angulares) posee una energía mayor* que la del conductor esférico.

*O, siendo rigurosos, igual, aunque sólo la correspondiente a la carga distribuida uniformemente sobre la superficie tendrá el mismo valor.

[Al2000]

Re: Cuestión sobre electrostática

Otro enfoque: La energía se puede considerar que "está contenida" en el campo eléctrico. Ambas distribuciones crean el mismo campo en puntos exteriores, pero la corteza esférica no produce campo en puntos interiores.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Cuestión sobre electrostática

Por cierto, el cálculo que hace Alriga es, si no me equivoco, para una distribución homogénea de carga. El enunciado no determina eso, sino que *toda* distribución de carga (homogénea o no, tanto en lo radial como en sus componentes angulares) posee una energía mayor* que la del conductor esférico.

En efecto, el cálculo que hice es para una distribución esférica homogénea de carga. De tus explicaciones y de las de Al2000, sintetizando y resumiendo:

-En el conductor en equilibrio electrostático la carga se distribuye exclusivamente en la superficie.
-En el conductor en equilibrio electrostático el campo interior es nulo.
-Una distribución esférica de carga produce un campo exterior igual al producido por un conductor esférico con la misma carga y el mismo radio.
-Una distribución esférica de carga produce además un campo interior.

La energía de la distribución esférica de carga es la suma de la contribución del campo exterior, (del mismo valor que la producida por el conductor esférico), más la contribución del campo interior, luego será siempre mayor que la del conductor esférico.

Gracias, Alriga, pero ¿cómo has calculado los campos?

Para el conductor:

$U_{ce} =\dfrac 1 2 Q V = \dfrac 1 2 Q \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}= \dfrac{1}{2} \dfrac {Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R}$

Para una distribución esférica homogénea de carga:

$\dst U_{de} =\dfrac 1 2 \epsilon_0 \int_{\tau} E^2 d \tau=\dfrac{3}{5} \dfrac {Q^2}{4 \pi \epsilon_0 R}$

Saludos.

[Etmoides]

Re: Cuestión sobre electrostática

Aclarado, gracias a todos!