1r ciclo Fuerza sobre un material dieléctrico lineal

[Magic24]

Hola, muy buenas, tengo el siguiente problema con el que estoy atascado:




No sé muy bien cómo se hace, sé que la fuerza en un dieléctrico es:

$F =(P \cdot \nabla)E_{ext}$

siendo

$P= \epsilon_0 (\epsilon_r - 1)$

con el campo eléctrico el de un hilo de densidad lineal de carga $\lambda$

$E_{linea}=\frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r }$

No sé si el planteamiento es correcto ni cómo se operaría. Agradecería una ayudita ya que no sé cómo continuar.

Gracias de antemano.

[Julián]

Re: Fuerza sobre un material dieléctrico lineal

La fuerza eléctrica es el campo eléctrico por el escalar que es la carga neta. Ahora bien eso es solo aplicable a una carga puntual en un cuerpo puntual con un campo constante y tu tienes una espera que no es puntual sino que tiene una dimensión cuyo radio es $a$, a su vez el cálculo que realizas del campo generado por el conductor es correcto y se aprecia que disminuye con la inversa de la distancia por lo que no es constante por lo que la fuerza sería:

Utilizaré coordenadas esféricas

$\dst \vec{F}= {\int}_{s}^{2 a} {\rho}_{r}(r) \vec{E}(r) dr$

Donde $r$ es distancia radial y donde $s$ es el comienzo de la esfera y $2a$ donde finaliza la esfera

Ahora la carga $\dst {\rho}_{r}(r)$ es la densidad de carga lineal de polarización (de la esferea por eso la llame ${\rho}_{r}$.

A sabiendas, la densidad de carga volumétrica de polarización es:

$\dst {\rho}_{V} = {\nabla} . \vec{P}$

Por ende la densidad lineal de carga (de la esfera nuevamente) será:

$\dst {\rho}_{r} = {\int}_{0}^{\pi} {\int}_{0}^{2 \pi} {\rho}_{v} {r}^{2} sen (\phi) d \phi d\theta= {\int}_{0}^{\pi} {\int}_{0}^{2 \pi} {\nabla} . \vec{P} {r}^{2} sen (\phi) d \phi d\theta$

Y por último, $- \nabla . \vec{P} = \varepsilon \nabla . \vec{E}$

$\dst {\rho}_{r} = {\int}_{0}^{\pi} {\int}_{0}^{2 \pi} \varepsilon \nabla . \vec{E} {r}^{2} sen (\phi) d \phi d\theta$

Como el campo varía solo con la distancia radial:

$\dst {\rho}_{r} =\varepsilon \nabla . \vec{E} {r}^{2} 4 {\pi}$

$\dst \vec{F}= 4 \pi \varepsilon {\int}_{s}^{2 a} (\nabla . \vec{E}(r)) \vec{E}(r) {r}^{2} dr$

Como hemos estado usando coordenadas circulares:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Arreglando el término

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Por último llegamos a la expresión final de la fuerza:

$\dst \vec{F}= \frac{1}{\varepsilon} {\lambda}^{2} \hat{r}$

$\dst \vec{F}= \frac{1}{{\varepsilon}_{0} (1+ {X}_{e})} {\lambda}^{2} \hat{r}$

Donde el módulo de la fuerza es

$\dst \frac{{\lambda}^{2}}{{\varepsilon}_{0} (1+ {X}_{e})}$ y su dirección la radial.

[Magic24]

Re: Fuerza sobre un material dieléctrico lineal

Pero una duda, ¿no deberíamos usar la susceptiblidad eléctrica?¿Cómo se podría introducir?

[Julián]

Re: Fuerza sobre un material dieléctrico lineal

$\varepsilon = {\varepsilon}_{0} (1 + {x}_{e})$

[Al2000]

Re: Fuerza sobre un material dieléctrico lineal

...
Por ende la densidad lineal de carga (de la esfera nuevamente) será:

$\dst {\rho}_{r} = {\int}_{0}^{\pi} {\int}_{0}^{2 \pi} {\rho}_{v} d \phi d\theta= {\int}_{0}^{\pi} {\int}_{0}^{2 \pi} {\nabla} . \vec{P} d \phi d\theta$
...

Desde esta ecuación en adelante, incluyendo el resultado final, las ecuaciones son dimensionalmente inconsistentes.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Julián]

Re: Fuerza sobre un material dieléctrico lineal

Faltó el jacobiano es verdad, ahí lo agregué.