Secundaria condensador placas paralelas ayuda favor

[alejandrito29]

Condensador de placas paralelas infinitas separadas por una distancia $d$ . Existe una diferencia de potencial $V_0$. La placa inferior tiene una abolladura en forma de semiesfera de radio $r_0$. Calcula el potencial en función de la posición suponiendo que $d>>r_0$
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Lo que yo traté de hacer es :

$V_{plates}= \sigma /\epsilon_0 z$
[FONT=PT Sans]
[/FONT]
$r<|r_0|$
[FONT=PT Sans]
[/FONT]
[FONT=PT Sans]Gauss Low[/FONT]
[FONT=PT Sans]
[/FONT]$E 4/3 \pi r^2 = \sigma 4/3 \pi r_0^2$

[FONT=PT Sans]
[/FONT]$E= \sigma r_0^2 /\epsilon_0 r^{-2} \hat{r}$

[FONT=PT Sans]
[/FONT]$V_{sp} = \sigma r_0 /\epsilon_0 ( r_0/r-1) = \sigma r_0 /\epsilon_0 ( r_0/\sqrt{x^2+y^2+z^2}-1)$

[FONT=PT Sans]
[/FONT]
[FONT=PT Sans]y para

$r>|r_0|$[/FONT][FONT=PT Sans]

[/FONT]$V=V_{plates}+V_{sp}$[FONT=PT Sans]
[/FONT][FONT=PT Sans]
[/FONT][FONT=PT Sans][FONT=Verdana]

Ayuda ...[/FONT][/FONT]

[Julián]

Re: condensador placas paralelas ayuda favor

$\dst {\nabla}^{2} V = - \frac{\rho}{\varepsilon}$

como, la diferencia de potencial es con respecto a 1 dimension espacial, es decir la altura:

$\dst {\nabla}^{2} V = \frac{{\partial}^{2} V}{{\partial x}^{2}}=- \frac{\rho}{\varepsilon}$

$\dst V(x) = -\frac{\rho}{\varepsilon} \frac{{x}^{2}}{2} +x C1 + C2$

Es decir, ese es el valor de la diferencia de potencial en función de la distancia entre placas. Ahora en x=0 V=0 lo que implica que C2=0. Y en $x = d$el potencial es $V = {V}_{0}$

$\dst C1 = \frac{{V}_{0}}{d} + \frac{\rho d }{\varepsilon 2}$

Entonces el potencial en función de la distancia entre placas queda:

$\dst V(x) = - \frac{\rho}{\varepsilon} \frac{{x}^{2}}{2} + \frac{\rho {d} x }{\varepsilon 2}+ {V}_{0}x$

[alejandrito29]

Re: condensador placas paralelas ayuda favor

$\dst {\nabla}^{2} V = - \frac{\rho}{\varepsilon}$

como, la diferencia de potencial es con respecto a 1 dimension espacial, es decir la altura:

$\dst {\nabla}^{2} V = \frac{{\partial}^{2} V}{{\partial x}^{2}}=- \frac{\rho}{\varepsilon}$

$\dst V(x) = -\frac{\rho}{\varepsilon} \frac{{x}^{2}}{2} +x C1 + C2$

Es decir, ese es el valor de la diferencia de potencial en función de la distancia entre placas. Ahora en x=0 V=0 lo que implica que C2=0. Y en $x = d$el potencial es $V = {V}_{0}$

$\dst C1 = \frac{{V}_{0}}{d} + \frac{\rho d }{\varepsilon 2}$

Entonces el potencial en función de la distancia entre placas queda:

$\dst V(x) = - \frac{\rho}{\varepsilon} \frac{{x}^{2}}{2} + \frac{\rho {d} x }{\varepsilon 2}+ {V}_{0}x$

mmmm muchas gracias, ¿pero estás tomando en cuenta el efecto que haría la semiesfera de la placa inferior?

[Julián]

Re: condensador placas paralelas ayuda favor

Eso está implicito en $x$, siendo $x$ la distancia entre las placas. Como verás $x$ es función del valor de la dimensión "largo", llamemosle $y$. De manera tal que x está definida en una función de a trozos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde el valor de $x$ es $d$ salvo en el intervalo donde está el lóbulo, que yo por darle un nombre tomé que el defecto está entre el valor $y=b$ a $y=k$, donde se da que $\left\vert{} k-b \right\vert{}=2r$ y donde $x = sin (arctan(r)).$

Pero como el problema no especifica nada sobre donde está ubicada la perturbación sino que dice que son placas infinitas, eso implica que el problema es genérico.

Si te fijas en tu dibujo, tu expones que las lineas de campo rojo se adicionan con respecto a las azules pero eso la ecuación ya lo tomá en cuenta tomando que el potencial en la placa superior es ${V}_{0}$, considerada en la condición inicial de la ecuación diferencial.

Si quieres vislumbrar como son las lineas de campo: $\vec{E} = - \nabla V$ porque hasta ahora no hemos considerado como está dado el campo eléctrico ya que el problema no lo considera. Y el problema pide que calcule el potencial en función de la posición, si es de la posición con respecto a la separación entre las placas es la ecuación final que puse y si es con respecto a la distancia del largo, solo debes considerar a x en función de y. Pero como el problema no es claro en esto ya que dice solamente que son placas infinitas y tampoco mensiona donde está ubicado el lóbulo hay que hacerlo genérico.