Secundaria Significado potencia reactiva físico-matemático

[alexpglez]

Hola. Sé que los números complejos se usan ya que son útiles en corriente alterna, por ser más fácil trabajar con exponenciales complejas que con funciones trigonométricas, ya que da igual coger la parte real e imaginaria de una función y derivar que al revés. Mi duda aparece para el cálculo de potencias, en clase nos han explicado tres tipos de potencias, resistiva, reactiva y total. ¿Cuál es la utilidad de la definición de éstas últimas y de dónde viene, y por qué tiene relación con los complejos?
Si tenemos $i(t)=\sqrt{2}Isin(wt-\phi)$ y $u(t)=\sqrt{2}Usin(wt)$ con $U=\vert Z \vert I=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2} I$ y $\phi=-\tan ^{-1} \frac{X_L-X_C}{R}$. La potencia:

$$P=u(t)i(t)=UI[(1-\cos 2wt)\cos \phi -\sin 2wt \sin \phi]=$$

$$=\vert Z \vert I^2[(1-\cos 2wt)\cos \phi -\sin 2wt \sin \phi]=RI^2(1-\cos 2wt)+(X_L-X_C)I^2 \sin 2wt$$

$<P>=RI^2$
Pero no entiendo por qué definir:
$P=RI^2 \;\;\; Q=(X_L-X_C)I^2 \;\;\; S=P+jQ \;\;\; \vert S \vert=\sqrt{P^2+Q^2}$
Estas fórmulas las he dado en electrotecnia, como lo hacemos muy sencillo, trabajamos con valores medios. ¿Cómo se definirían estas fórmulas de las potencias S, Q y P en función del tiempo y los valores complejos de u(t) y i(t)? ¿Qué significado tienen?

Un saludo, gracias.

[Julián]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

La potencia instantánea:

$p(t) = v(t) i(t)$

Para señales armónicas:

$\dst p(t) = {V}_{p} cos ( \omega t + {\theta}_{v}) {I}_{p} cos (\omega t +{\theta}_{i}) = \frac{{V}_{p} {I}_{p}}{2} (cos (\phi) + cos (2 \omega t + \phi))$ donde $\phi = {\theta}_{v }- {\theta}_{i}$

como $\dst \frac{{V}_{p} {I}_{p}}{2} = V I$ ya que $\dst V I = \frac{{V}_{p}}{\sqrt{2}} \frac{{I}_{p}}{\sqrt{2}} =\frac{{V}_{p} {I}_{p}}{2}$

Se observa que hay una parte constante en la potencia instantánea $V I cos (\phi)$ y una parte de la potencia oscilante sobre ese nivel de potencia constante $V I cos (2 \omega t + \phi)$.

La potencia activa es el valor medio (promedio) de la potencia instantánea por lo que:

$\dst P = \frac{1}{T} {\int}_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} V I (cos (\phi) + cos (2 \omega t + \phi) dt = V I cos (\phi)$

Que es la potencia constante de la potencia instantánea ya que la otra parte es oscilante, sube y baja en forma armónica en un periodo. Y como es un valor medio es lo que verdaderamente se gasta en un periodo de la onda. Si habría un solo capacitor $cos ( - 90º) = 0$ no habría potencia activa, es decir el valor medio de la potencia instantánea sería cero y por lo que habría solamente el término oscilante en la potencia instantánea. Lo mismo para un inductor $cos (90º) = 0$ Por lo que para que halla potencia activa es necesario una resistencia.

Esa es la potencia que fisicamente existe, la instantánea y la activa. Donde la activa es lo que se consume en promedio en un periodo.

Por ejemplo, podría haber 100 [A] y 220[V] en una empresa pero no estar gastandose potencia por un angulo fi de 90º. Pero por más que no se gaste potencia están circulando 100[A] y eso algo te lo tiene que dar, por más que el transformador de distribución a la empresa no observe una fuerza contraelectromotriz que le haga hacer trabajo ya que cuando la tensión es máxima no hay corriente y viceversa. La empresa distribuidora te tiene que entregar 100[A] que no se gastan porque despues "vuelven" a la red pero el transformador en primera instancia tiene que entregarlo y no puede (debido a sus conductores) entregar infinita corriente debido al diametro de sus conductores y las perdidas que produciría en este. Es decir, que si un transformador es de 100 KVA, implica que el producto de la tensión y la corriente no pueden superar 100000 por más que no se gaste nada. Como los transformadores de distribución entregan una tensión fija, por ejemplo 220[V] entonces la potencia activa te ayuda a conocer la maxima corriente que puede entregar. No hay nada físico, es algo constructivo, para los ingenieros.

Así que, si se observa la potencia activa que tiene la forma $V I cos (\phi)$ y como la aparente es el producto de V por I por definición, se puede hacer la siguiente relación:

$S=V{e}^{j {\theta}_{v}} V{e}^{-j{\theta}_{i}}$ es compleja ya que debe "informar" de las diferencias de fase entre la corriente y tensión (como vez es para los ingenieros o técnicos, lo físico no existe acá porque físicamente lo que se consume es lo activo) y eso se realiza solamente mediante numeros complejos que tienen un modulo y una fase. No hay ningún otro cuerpo algebraico que de esa información.

Por lo que la potencia activa en relación a la aparente.

$P = Re(s) = V I cos (\phi)$

Y ahí quedó. Luego la relación trigonometrica del plano complejo; definida la potencia S como compleja implica una parte imaginaria y se la llama potencia reactiva. Y se puede trabajar con esta de manera de disminuirla.
$<br /> Q = Im(S) = V I sen (\phi)$

donde ${S}^{2} = {P}^{2} + {Q}^{2}$

Se observa que a menor $\phi$ mayor potencia activa por lo que hay mayor componentes resistivos y a mayor $\phi$ mayor componentes reactivos. Por ende la potencia reactiva depende de los componentes reactivos porque son los que modifican a fi ¿Por qué la potencia reactiva no consume potencia física? porque los capacitores e inductores, elementos reactivos, almacenan la energía que luego se entrega. A su vez, un capacitor o inductor desfasan la corriente y a su vez tienen influencia en su módulo, así que todo cuadra en el cuerpo algebraico complejo. Y lo que se busca es que S = P (en módulo hablando) y eso implica que Q=0.

saludos.

[visitante20160513]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

La potencia reactiva realmente existe, lo único que ocurre es que se encuentra oscilando en el interior del circuito sin ser consumida (sin realizar trabajo), es decir es suministrada desde las fuentes hacia los receptores y al instante siguiente devuelta tal cual hacia las fuentes, sin ser consumida. Es un problema para las distribuidoras porque se manifiesta entre otras cosas por un incremento de la corriente eléctrica y esto conlleva siempre unas mayores pérdidas, que para compañías eléctricas suponen un grave problema, esa es la razón de que las compañías ofrezcan mejores tarifas a los clientes que corrigen su factor de potencia. Y desde luego que existe, en todos los circuitos eléctricos del mundo.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

Discreparé contigo Jabato un poco. Si es verdad que hay una potencia que se consume y luego es devuelta y es el segundo término de la potencia instantánea $V I cos (2 \omega t)$ que como se observa no es lo mismo a la potencia reactiva ya que esta potencia "juguetona" es una función con un argumento que depende del tiempo. Ahora la potencia activa como es el promedio de la instantánea no depende del tiempo, es constante. La potencia aparente y reactiva se diferencian ya de por si al tener diferente magnitud, ya no vatio sino volt ampere y son términos constructivos, parámetros de mérito de una máquina que informan sobre la corriente y la tensión que existen.

Así por ejemplo, un motor ideal en vacio o un transformador en vacio (dejando de lado las pérdidas) no consume potencia pero hay corriente, esa corriente es la corriente magnetizante que genera el flujo magnético pero cuando esta corriente desminuye, la energía almacenada en el campo tiende a mantenerla (es por esto que se dice que vuelve). La corriente y la tensión están desfasadas 90º por lo que la potencia activa es cero y solo queda el término oscilante en la instantánea, es decir, se entrega potencia para generar el flujo magnético y luego este flujo devuelve potencia al cambiar la corriente con un doble de la velocidad angular de las señales. ¿Y la reactiva? es solo un número imaginario que permite observar las relaciones donde la activa es la parte real por lo que mediante las relaciones trigonómetricas se relacionan y dependen mutuamente cuya potencia aparente informa de la tensión y corriente que circulan, tensiones desfasadas y corrientes magnetizantes o de consumo real.

De la misma manera en una instalación domiciliaria sin nada conectado alguien pensaría que no hay corriente, que entre la fase y el neutro hay solo una señal de tensión. Pero como estos cables están separados por un dieléctrico hay una pequeñisima capacitancia, por lo tanto en un primer semiciclo de la señal hay corriente que circula en la casa que se acumula en dicha capacitancia y en el siguiente semiciclo esas cargas retornan y cambian de potencial. Por lo tanto hay corriente pero no potencia consumida por la casa. Cuando se conecta un televisor esta capacitancia pequeña queda en paralelo con el tele, por la ley de norton corriente circula por el tele y otra va a cargar el capacitor, cuando la tensión empieza a disminuir en el semiciclo la carga del capacitor circulará por el televisor.

[Julián]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

Alriga está mal lo que informa la página que adjuntaste. Si observas da una gráfica interactiva que titula potencia aparente que en el gráfico es S(t) y tiene color amarrillo, pues bien esa no es la potencia aparente es la potencia instantánea. Fijarse que tiene el doble de frecuencia que las señales de tensión y corriente (ambas instantáneas a la vez) y a su vez marca con linea puntiada el valor medio, es decir la potencia activa pero en ninguna parte de la gráfica se visualiza la potencia aparente o la reactiva.

Lo que si ese gráfico muestra las verdaderas potencias, la instantánea y su valor medio que es la activa en funcion de los valores instantáneos de las tensiones y corrientes. Para visualizar las potencias aparentes y reactivas es necesario el plano complejo. Lo que sí deja en claro el gráfico es como varía la potencia activa en función del desfasaje de la corriente y tensión.

[alexpglez]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

Asi que, no tiene nada que ver ni con lo matemático ni con lo físico, si no que es a partir de la potencia media que es útil definir así con complejos tres diferentes tipos de potencias¿?
Aunque, éstas no aporten información alguna de cómo se comporte en el tiempo la energía y potencia de bobinas o condensadores.
Por otra parte entiendo lo que decís, la potencia reactiva oscila ya que el condensador y la bobina recogen y aportan energía al campo electromagnético.

Y sobre la cuestión de reducir la potencia reactiva, ¿lo que se trata es de minimizar la intensidad que circula por el cable, y de enfasar la intensidad del circuito con la procedente de la red?

- - - Actualizado - - -

Y que es S(t)¿? Ya que, como me has contado antes, trata de salirse del significado físico de las potencias generadas, disipadas, oscilantes entre el circuito y los campos eléctricos y magnéticos del condensador y la bobina. Para tratar con valores medios.

[Julián]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

Por otra parte entiendo lo que decís, la potencia reactiva oscila ya que el condensador y la bobina recogen y aportan energía al campo electromagnético.

No, no oscila, es constante la potencia reactiva, si observas es $V I sen (\phi)$, yo acá no veo ningún $t$. Es decir, si tienes un conjunto de impedancias capacitivas o reactivas la potencia reactiva es constante, donde la tensión es la que cae en la impedancia y la corriente es la que genera los campos, es decir es energía reversible. La activa también es constante, donde la tensión es la que cae en la impedancia y la corriente produce trabajo no reversible y la aparente también es constatne.
Se le llama potencia por el simple hecho que está en relación con la activa. Y la aparente a su vez se le llama potencia debido a que es el producto de los fasores tensión y corriente que dimensionalmente tiene unidades de potencia pero no es por eso se la diferencia con VA en vez de W y está en relación con la activa.

Lo que oscila es la potencia instantánea, ya que aplicando la identidad trigonométrica se obtiene 2 términos uno constante y otro oscilante. En la práctica yo no soy ing eléctrico sino electrónico pero trabajo con ing. eléctrico y ellos llaman consideran que los inductores consumen potencia reactiva y los cap la generan ¿como es posible que un capacitor siendo pasivo genere potencia? pues porque no es una potencia física. Por eso en la industria se compensa con capacitores la reactiva consumida por los inductores.

Y sobre la cuestión de reducir la potencia reactiva, ¿lo que se trata es de minimizar la intensidad que circula por el cable, y de enfasar la intensidad del circuito con la procedente de la red?

Se trata de reducir la corriente que no está incluida en el trabajo y que es la corriente que genera los campos. Que en la impedancia que posee reactiva no produce potencia activa pero si en los cables externos a la impedancia en analisis.

Y que es S(t)¿? Ya que, como me has contado antes, trata de salirse del significado físico de las potencias generadas, disipadas, oscilantes entre el circuito y los campos eléctricos y magnéticos del condensador y la bobina. Para tratar con valores medios.

En la página que pasó Alriga S(t) en el gráfico es la potencia instantánea, como oscila por los elementos reactivos lo que interesa es el promedio en el tiempo que es lo activo, porque por definición la potencia positiva es lo que se gasta y la negativa lo que se entrega. Si hay solo reactancia la instantánea no tiene valor medio por lo que gasta y luego devuelve pero si tiene un valor medio positivo ahi ya lo que gasta es mayor a lo que devuelve,....

acá está mejor explicado:
http://electricidad.usal.es/Principa...iaReactiva.php

[Alriga]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

Alriga está mal lo que informa la página que adjuntaste. Si observas da una gráfica interactiva que titula potencia aparente que en el gráfico es S(t) y tiene color amarrillo, pues bien esa no es la potencia aparente es la potencia instantánea. Fijarse que tiene el doble de frecuencia que las señales de tensión y corriente (ambas instantáneas a la vez) y a su vez marca con linea puntiada el valor medio, es decir la potencia activa pero en ninguna parte de la gráfica se visualiza la potencia aparente o la reactiva.
Lo que si ese gráfico muestra las verdaderas potencias, la instantánea y su valor medio que es la activa en funcion de los valores instantáneos de las tensiones y corrientes. Para visualizar las potencias aparentes y reactivas es necesario el plano complejo. Lo que sí deja en claro el gráfico es como varía la potencia activa en función del desfasaje de la corriente y tensión.

Tienes razón Julian, no me había fijado en detalle de lo que dices antes de enlazar la página. Los 3 primeros gráficos están bien, aunque con nomenclatura incorrecta en los puntos que tú señalas, pero es que los dos últimos lían más que ayudan.
Borro el comentario para que esa página no confunda a nadie más, gracias y saludos.

[alexpglez]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

No, no oscila, es constante la potencia reactiva

Estaba pensando en la parte de la potencia instantánea que oscila en los condensadores y bobinas, me hice un lío al pensar lo que iba a escribir y luego lo debí escribir mal (o eso creo). Sobre lo otro entiendo, en el ejemplo más simple podemos tener una bobina ideal conectada a una fuente, hay intensidad, pero si conectamos el condensador adecuado en paralelo, la intensidad va a aparecer 0 en las líneas, pero va a seguir habiendo intensidad en la bobina y en el la rama del condensador. Si el circuito anterior tuviese resistencias, no podríamos hacer 0 la intensidad en la línea pero sí minimizarla.

Gracias, un saludo.

[Julián]

Re: Significado potencia reactiva físico-matemático

en el ejemplo más simple podemos tener una bobina ideal conectada a una fuente, hay intensidad, pero si conectamos el condensador adecuado en paralelo, la intensidad va a aparecer 0 en las líneas, pero va a seguir habiendo intensidad en la bobina y en el la rama del condensador. .

Claro pero no va a haber corriente saliente de la fuente si la impedancia capacitiva es igual a la impedancia inductiva, ya que:

$\dst I = j \omega C V + \frac{V}{j \omega L}$, si $I = 0$ implica que $\omega C = \frac{1}{\omega L}$ Por lo que para un capacitor y bobina dado eso se da en una frecuencia dada:

$\dst \omega = \frac{1}{\sqrt{C L }}$

En esta caso ideal y especial no hay ni potencia activa y tampoco reactiva, ya que las reactancias son iguales, si fueran diferentes habría potencia reactiva pero no trabajo físico, ya que la fuente entregaría corriente que luego le sería devuelta en el siguiente semiciclo, es por estoq ue la corriente sería mayor a cero.

Pero como tu dices al haber resistencia siempre, habrá una corriente y la resonancia se alcanza con una corriente que será mínima en relación a las otras frecuencias. Esto para el caso de un circuito RLC paralelo. Es decir en la resonancia RLC paralelo es mínima la corriente y la potencia solo es activa donde la potencia instantánea tiene un término oscilante pero siempre positivo el valor inferior de la potencia instantánea. Si fuera negativo el valor inferior habría potencia que estaría "volviendo" por lo que la corriente es mayor que en la resonancia ya que la fuente tuvo que suministrar esa corriente que después vuelve, es decir pasará por la resistencia generando potencia activa en el cuarto periodo donde la tensión decrece.