2o ciclo cilindro metálico en campo uniforme

[sater]

Buenas. Tengo dudas respecto al siguiente ejercicio:



Para resolverlo, he optado por utilizar el método de las imágenes.
El potencial de una línea de carga se puede obtener integrando el campo eléctrico (y este con Gauss) y resulta $V=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} log\left(\dfrac{r_0}{r}\right)$. Si se estudia mediante imágenes el caso de que la línea de carga se encuentra frente a un cilindro metálico (por ser metálico su V es constante), se puede obtener que es equivalente a tener una línea de carga imagen en el interior del cilindro. Si la externa posee una densidad de carga $\lambda$, la imagen $-\lambda$ y si la externa esta en el punto (d,0) la imagen en el ($d_i$,0) cumpliendo $dd_i=a^2$, con $a$ el radio del cilindro.

Por aquí ya tengo una duda. Realmente la condición a la que llegas es a que el potencial de la distribución externa y el de la imagen es $V=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}log(r_i/r)$, y por tanto las superficies equipotenciales son las de $r_i/r=cte$. De aquí sale la otra condición estudiando dos triángulos que serían semejantes, obteniendose $\frac{r_i}{r}=\frac{a}{d_i}=\frac{d}{a}$. Si queremos que el potencial sea nulo sobre el cilindro tendría que fijar $r_i/r=1$ con lo que las dos líneas de carga estarían en el mismo punto, lo que tiene lógica pues sin carga no hay distribución de potencial. Igualmente creo que he podido solventar el problema más adelante.

Así pues, para simular un campo uniforme podría situar dos líneas de carga en puntos (d,0) (-d,0) y suponer $d\gg a$. Así en la región cercana al cilindro el campo será aproximadamente uniforme. Cada línea externa de carga induce una línea interna imagen, con lo que dentro tenemos una especie de dipolo. Así en el exterior tendríamos una superposición del potencial de las líneas de carga con el de dicho dipolo. Como estoy trabajando en el plano por la simetría que hay (si el eje z sale del papel, hay simetría de traslación respecto de él), usando polares tengo que:

Para el dipolo: $\Phi=\dfrac{\bold p \bold r}{4\pi\varepsilon_0 r^3}=\ldots=\dfrac{\lambda L a^2 \cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 d r^2}$

Para el campo externo: Por no trabajar con los logaritmos, he pasado a suponer que el campo uniforme lo producia $V=-E_0x=-E_0 r\cos\theta$. ¿Os parece correcto hacerlo así?

Cuando ya tengo el potencial, $\Phi(r,\theta)=-E_0 r\cos\theta + \dfrac{\lambda L a^2 \cos\theta}{2\pi\varepsilon_0 d r^2}$, para poner la condición de que sobre el cilindro sea nulo hago que en r=a lo sea, obteniendo $\lambda=\dfrac{E_0}{L} a 2\pi\varepsilon_0 d$

Ya obtendría $\bold E=-\bold{\nabla} \Phi$. La carga superficial inducida la obtendría como $\sigma=D_n=\varepsilon_0 E_n$, con $E_n=\bold E \bold n=\bold E \bold{\hat u}_r$.

Las dudas pues las tendría en:

- ¿He hecho bien aproximando así el campo externo?
- El método de las imágenes tengo entendido que solo daría la respuesta para fuera del cilindro, pero en un libro veo que calculando la polarizabilidad de una esfera metálica lo usa para dentro también. ¿En este caso también valdría?
- ¿Os parece bien como he introducido que el potencial sobre el cilindro fuera nulo?
- ¿Conocéis otro método que no sea por imágenes? he pensado en resolverlo como una ec. diferencial con ciertas Condiciones de Contorno, pero lo veía más difícil.

Gracias de antemano, un saludo.

[sater]

Re: cilindro metálico en campo uniforme

Viendo un ejemplo hecho por el profesor también saldría rápido usando separación de variables en coordenadas cilíndricas. Ahora no tengo tiempo, pero si le interesa a alguien cuando tenga tiempo posteo la solución.