Otras carreras El coseno de theta en una superficie Gausiana.

[Busconcito]

¿Cómo se calcula el flujo eléctrico que atraviesa la superficie de un volumen elipsoide en un campo eléctrico uniforme? El ángulo $\theta$ que forma la normal a cada diferencial de superficie con las líneas del campo eléctrico no es constante.

Saludos y muchas gracias anticipadas.

[Al2000]

Mira el artículo sobre Geometría diferencial de superficies en la Wikipedia o en algún otro sitio más riguroso y allí consigues la forma para determinar el vector unitario normal a la superficie. El resto es caerse a golpes con las expresiones resultantes al plantear la integral.

Como no pones exactamente lo que quieres calcular, te hago el comentario de que probablemente la forma analítica anterior sea (aunque divertida) tan exagerada como matar zancudos con una escopeta. Si el campo es uniforma, lo único que tienes que hacer es proyectar la superficie en un plano normal al campo y hacer el cálculo simplemente como $\Phi_E = E A$.

También es cierto que el flujo de cualquier campo uniforme a través de una superficie cerrada es siempre nulo, como concluyes a partir de la aplicación de la Ley de Gauss.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Busconcito]

Mira el artículo sobre Geometría diferencial de superficies en la Wikipedia o en algún otro sitio más riguroso y allí consigues la forma para determinar el vector unitario normal a la superficie. El resto es caerse a golpes con las expresiones resultantes al plantear la integral.

Como no pones exactamente lo que quieres calcular, te hago el comentario de que probablemente la forma analítica anterior sea (aunque divertida) tan exagerada como matar zancudos con una escopeta. Si el campo es uniforma, lo único que tienes que hacer es proyectar la superficie en un plano normal al campo y hacer el cálculo simplemente como $\Phi_E = E A$.

También es cierto que el flujo de cualquier campo uniforme a través de una superficie cerrada es siempre nulo, como concluyes a partir de la aplicación de la Ley de Gauss.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Hola.

Ou mama con la cita, no estoy preparado para eso! Todo se andará. El caso es que sí me he dado cuenta que efectivamente tal y como apuntas, el flujo total es nulo, las líneas que entran por las que salen.

El planteamiento tenía que haber sido: Cortamos la elipse por la mitad con un plano ¿Cuál es el flujo que pasa por la mitad de la superficie?

Lo intento.

$\Phi=\displaystyle\int_{S}|\vec{E}|\cdot|\vec{n}|\cdot ds$

donde $ds$ sería el diferencial de la superficie correspondiente a la sección elíptica del plano de corte.

Se hace el producto escalar

$|\vec{E}|\cdot|\vec{n}|=E\cdot n\cdot\cos\alpha,$

como el campo es uniforme, el ángulo $\theta$ es constante y $n=1$ , se puede escribir

$\Phi=E\cdot\cos\theta\cdot\displaystyle\int_{S}ds=\cancel{E\cdot\cos\theta\cdot\displaystyle\int_{S}\cdot a\cdot b\cdot\pi}$ $=E\cdot\cos\theta\cdot a\cdot b\cdot\pi$

donde $a$ y $b$ son los semiejes de la sección elíptica del plano de corte.

¿Sería correcto?

Muchas gracias.

CORREGIDO por gentileza de AL2000. No se como se escribe LaTeX en rojo.

[Al2000]

Sólo quita el último símbolo de integral y reordena la expresión

[Busconcito]

De acuerdo, entonces, se mida con el radio que se mida, el flujo total que pasa por una esfera imaginaria que la encierre sólo depende de la carga y de la permisividad del aire.

Esto sigue siendo válido si se considera cualquier superficie que encierra la carga aunque no sea una figura geométrica. Por ejemplo la piel de una patata o la piel de un garbanzo. Siempre es posible imaginar una esfera que contenga la patata o el garbanzo que a su vez contengan la carga. El flujo por cualquier superficie que encierre la carga debe ser el mismo.

Para todo lo demás, (superficies no cerradas), encontrar el diferencial de ángulo sólido $d\Omega$ proyectando el diferencial de superficie $ds$ en un plano perpendicular al campo e integrar.

¿No?

Saludos.

[oscarmuinhos]

De acuerdo, entonces, se mida con el radio que se mida, el flujo total que pasa por una esfera imaginaria que la encierre sólo depende de la carga y de la permisividad del aire.¿No?

Del aire, si el medio es el aire. En general habrá que decir del medio, porque el valor del campo depende de esa permisividad del medio

Esto sigue siendo válido si se considera cualquier superficie que encierra la carga aunque no sea una figura geométrica. Por ejemplo la piel de una patata o la piel de un garbanzo. Siempre es posible imaginar una esfera que contenga la patata o el garbanzo que a su vez contengan la carga. El flujo por cualquier superficie que encierre la carga debe ser el mismo.¿No?

Yo lo veo correcto

Para todo lo demás, (superficies no cerradas), encontrar el diferencial de ángulo sólido $d\Omega$ proyectando el diferencial de superficie $ds$ en un plano perpendicular al campo e integrar.¿No?

Ojo con esa proyección!


Saludos.

[Busconcito]

Ojo con esa proyección!


Saludos.

Hola, muchas gracias.

Debe ser perpendicular al campo y debe ser una superficie cerrada. El ángulo sólido (y por lo tanto la proyección), pueden tener formas realmente complejas. A efectos de flujo no importa la complejidad, a efectos de campo ya es otra cosa. A la complejidad de integrar un diferencial de superficie complejo hay que añadirle que no es posible encontrar una superficie gausisana para la cual el campo se mantenga constante, así que no le veo mucha utilidad.