Campo en sistema de conductores (Gauss)

[Busconcito]

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Una esfera conductora sólida de radio $a$ tiene una carga positiva neta $2Q$. Un cascarón esférico conductor de radio interior $b$ y radio exterior $c$ es concénctrico con la esfera sólida y tiene una carga neta $-Q$. Con la ley de Gauss determine el campo eléctrico en las regiones marcadas como 1, 2, 3 y 4 en la figura y la distribución de carga sobre el cascarón cuando el sistema está en equilibrio electrostático.

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Sistema conductores.pdf

[Busconcito]

En 1 y 3 el campo es nulo por ser conductores. El campo en 2 aplicando Gauss debe ser

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de donde,

$E=\displaystyle\frac{2Q}{4\pi\epsilon_0r^2}=k\displaystyle\frac{2Q}{r^2}\;\displaystyle\frac{N}{C},$

como cabía esperar por la Ley de Coulomb.

Por el mismo método como la carga encerrada es $Q$, es fácil ver que en 4, el campo es $E=k\displaystyle\frac{Q}{r^2}\;\displaystyle\frac{N}{C}<br />$; donde $r$ es el radio de la superficie esférica concéntrica a los conductores y que contiene al punto 4.

El problema me surge con la distribución de carga en el cascarón esférico. Por un lado si no hubiese carga en el interior, la carga se distribuiría uniformemente sobre las dos superficies del cascarón que acabarían con una densidad superficial de carga que les permitiese alcanzar el equilibrio. Por otro, si consideramos que aparece un campo en el interior del cascarón generado por la bola conductora, éste perturba el equilibrio de la distribución debiendo redistribuirse si quiere estar en equilibrio.¿No?

Saludos y gracias.

[oscarmuinhos]

Hola Busconcito

como cabía esperar por la Ley de Coulomb

Una aclaración conceptual: la Ley de coulomb solo es aplicable a cargas puntuales. Otra cosa es, que en aplicación del teorema de Gauss, una distribución esférica de carga de simetría radial equivale a una carga puntual colocada en el centro de la esfera y de igual valor que la carga de dicha distribución esférica de carga.

El problema me surge con la distribución de carga en el cascarón esférico. Por un lado si no hubiese carga en el interior, la carga se distribuiría uniformemente sobre las dos superficies del cascarón que acabarían con igual densidad superficial de carga al alcanzar el equilibrio. Por otro, si consideramos que hay campo en el interior este perturba el equilibrio de la distribución. ;¿No?

¿Te refieres a la zona 3?
En esta zona, efectivamente, la carga de ese cascarón conductor se redistribuye:

-en la superficie interior (las cargas en un conductor en equilibrio electrostático solo pueden estar sobre la superficie) tendrá que haber una carga -2Q para que, en aplicación del teorema de Gauss, el campo en el interior de ese cascarón conductor sea nulo;
-en la superficie exterior la carga será +Q, pues la carga del cascarón ha de seguir siendo $-Q=Q_{Sinterior}+Q_{Sexterior}$

Saludos

[Busconcito]

Hola Busconcito



Una aclaración conceptual: la Ley de coulomb solo es aplicable a cargas puntuales. Otra cosa es, que en aplicación del teorema de Gauss, una distribución esférica de carga de simetría radial equivale a una carga puntual colocada en el centro de la esfera y de igual valor que la carga de dicha distribución esférica de carga.

Si, un detalle bien importante. Gracias.

¿Te refieres a la zona 3?
En esta zona, efectivamente, la carga de ese cascarón conductor se redistribuye:

-en la superficie interior (las cargas en un conductor en equilibrio electrostático solo pueden estar sobre la superficie) tendrá que haber una carga -2Q para que, en aplicación del teorema de Gauss, el campo en el interior de ese cascarón conductor sea nulo;
-en la superficie exterior la carga será +Q, pues la carga del cascarón ha de seguir siendo $-Q=Q_{Sinterior}+Q_{Sexterior}$

Saludos

Si, a esa zona me refiero.

La primera objeción que se me ocurre.

Se considera:

- El cascarón compuesto a su vez por dos cascarones de un átomo de espesor con un espacio entre ellos de unos pocos milímetros.

- Un espacio igual a la de un átomo entre la esfera conductora cargada del interior y la parte interna del cascarón.

- Se va inyectando carga a la esfera interior hasta el límite de lo posible. (Que por cierto no tengo ni idea de cual es).

Bajo estas circunstancias es claro que hay mucha más carga neta en la esfera que en el cascarón y que la suma de todas las cargas debe conservarse ocurra lo que ocurra.

Ahora cuando la carga de la esfera conductora interior tiende a $+\infty$, la carga en la superficie interior del cascarón debe tender a $-\infty$ y por lo tanto la carga en la superficie exterior del cascarón debe tender a $+\infty$. ¿De dónde saca el cascarón los protones y los electrones que necesita para redistribuir sus cargas hasta neutralizar la carga de la esfera interior y mantener así el campo nulo en su interior?

Bueno, antes de esperar contestación pongo lo que creo que pasaría.

Creo que llega un punto al ir aumentando la carga de la esfera en el que el cascarón se desintegra por los chispazos. ¿Correcto?

Aunque pensándolo bien quizás el cascarón acabe formando parte de la esfera y ésta redistribuya sus cargas para situarlas en la superficie.

Saludos y gracias.

[oscarmuinhos]

Hola

Ahora cuando la carga de la esfera conductora interior tiende a $+\infty$, la carga en la superficie interior del cascarón debe tender a $-\infty$ y por lo tanto la carga en la superficie exterior del cascarón debe tender a $+\infty$. ¿De dónde saca el cascarón los protones y los electrones que necesita para redistribuir sus cargas hasta neutralizar la carga de la esfera interior y mantener así el campo nulo en su interior?

Cada conductor en función del material que lo constituye y en función de su geometría tiene una capacidad para almacenar carga y por esta razón, nunca podrá esa esfera interior llegar a tener una carga infinita!!! La razón: al aumentar la carga, aumenta el potencial y, de esta forma, al llegar al límite de carga pasaría lo que dices. (Algo así es lo que ocurre en las nubes en las tormentas eléctricas...con el exceso de carga...

Saludos