Otras carreras Calcular la velocidad en el infinito de un electrón sometido a un campo eléctrico

[danielandresbru]

\begin{aligned} & = \\Hola necesito ayuda con este ejercicio, quisiera saber como plantear lo que me queda de problema.

Me dicen que existe un campo electrico de la forma E=A/(r^2), siendo A una constante y r la distancia hasta un punto P, la direccion y sentido del campo es radial y entrante al punto P. Me dicen que se coloca un electrón a una distancia del punto de 0.5, y me piden la velocidad del electrón cuando este ya se haya alejado del punto P una distancia muy grande (infinto).

Lo que he intentado es F=Aq/(r^2), luego a= (Aq/m)*(1/(r^2)) , siendo q la carga del electrón y m su masa. Luego como v= integral(a)dt
v=Aq/m *integral(1/(r^2))dt . Pero no sé como encontrar una relación entre la distancia y el tiempo.

Muchas gracias de antemano.

[Al2000]

Re: Calcular la velocidad en el infinito de un electrón sometido a un campo eléctrico

El trabajo de la fuerza eléctrica sobre el electrón será igual al cambio de energía cinética del electrón, $\dst W = \int_{r_0}^{\infty }\!\! (-e) (-E\, \boldsymbol u_r) \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = \Delta E_c$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[danielandresbru]

Re: Calcular la velocidad en el infinito de un electrón sometido a un campo eléctrico

Al2000 muchas gracias! Y de casualidad no sabes como calcular el tiempo que tarda en desplazarse una distancia x

[Alriga]

Re: Calcular la velocidad en el infinito de un electrón sometido a un campo eléctrico

Al2000 muchas gracias! Y de casualidad no sabes como calcular el tiempo que tarda en desplazarse una distancia x

No veo que haya una forma fácil de calcularlo. Tu objetivo es calcular $r=r(t)$ con la condición inicial $r(0)=0.5$
La II Ley de Newton:

$F=-q \ E = m \ a$

$-q \ \dfrac{A}{r^2}=m \ \dfrac{d^2 r}{dt^2}$

$r^2 \ \dfrac{d^2 r}{dt^2}=- \ \dfrac q m \ A$

Es una ecuación diferencial no lineal, (la variable está al cuadrado), de segundo orden que se resuelve mediante un par de cambios de variable, pero es un poco largo y complicado.

No sé si hay alguna otra forma más sencilla de calcularlo, a mí no se me ocurre.
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Calcular la velocidad en el infinito de un electrón sometido a un campo eléctrico

me piden la velocidad del electrón cuando este ya se haya alejado del punto P una distancia muy grande (infinto).

Creo que lo que le piden es la velocidad necesaria para que el eléctron escape del campo.

esto sale por energías

la energía del electrón al inicio es su energía potencial en el campo mas su energía cinética

$E_1=\dst-\dfrac{qA}{ r} +\frac 12 m_e v^2$

en el infinito $r=\infty$ y $v=0$ alli´ambas energías son nulas$E_2=0$

Luego si se conserva la energía del electrón entre ambos puntos $P_1=P=r$ y $P_2=\infty$

$E_1=E_2=0=\dst-\dfrac{qA}{ r} +\frac 12 m_e v^2$

de donde

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos $\mathbb R^3$

[arivasm]

Re: Calcular la velocidad en el infinito de un electrón sometido a un campo eléctrico

como calcular el tiempo que tarda en desplazarse una distancia x

El tiempo puede calcularse aplicando la conservación de la energía.

Como $\dst\frac{1}{2}m\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2+\frac{qA}{r}=\frac{qA}{r_0}$ se tiene que

$\dst t=\sqrt{\frac{mr_0}{2qA}}\int_{r_0}^r \sqrt{\frac{r}{r-r_0}}\dd r=\sqrt{\frac{mr_0}{2qA}}\left[\sqrt{r(r-r_0)}+r_0 \ln\left(\sqrt{\frac{r}{r_0}-1}+\sqrt{\frac{r}{r_0}}\right)\right]$

[Alriga]

Re: Calcular la velocidad en el infinito de un electrón sometido a un campo eléctrico

... Es una ecuación diferencial no lineal, (la variable está al cuadrado), de segundo orden que se resuelve mediante un par de cambios de variable, pero es un poco largo y complicado. No sé si hay alguna otra forma más sencilla de calcularlo, a mí no se me ocurre ...

Pues ya ves que sí hay otro método más sencillo:

El tiempo puede calcularse aplicando la conservación de la energía.Como

$\dst\frac{1}{2}m\left(\frac{\dd r}{\dd t}\right)^2+\frac{qA}{r}=\frac{qA}{r_0}$ se tiene que

$\dst t=\sqrt{\frac{mr_0}{2qA}}\int_{r_0}^r \sqrt{\frac{r}{r-r_0}}\dd r=\sqrt{\frac{mr_0}{2qA}}\left[\sqrt{r(r-r_0)}+r_0 \ln\left(\sqrt{\frac{r}{r_0}-1}+\sqrt{\frac{r}{r_0}}\right)\right]$

La conservación de la energía proporciona una ecuación diferencial con la velocidad, por lo tanto con una única integral se obtiene la posición, mientras que aplicando la II ley de Newton que es lo que te proponía yo, como en la ecuación diferencial aparece la aceleración, conduciría a integrar dos veces para obtener secuencialmente primero la velocidad y después la posición. (Está claro que la opción que te propone arivasm es 50% más sencilla )
Como enseñanza general de este problema nota que tanto si lo resolvemos vía Newton o vía Energía, la resolución de la ecuación diferencial no permite obtener explícitamente la expresión deseada r=r(t)
Lo que obtemos es t=t(r) y en esa expresión no es posible "despejar" r en función de t.
Recordarás que te habrán explicado que hay muchas integrales, algunas tan sencillas como por ejemplo

esta $\dst \int \dfrac{e^x}{x} \ dx$ ó esta $\dst \int \dfrac{1}{\ln x} \ dx$

que no tienen primitiva en forma de combinación de las funciones habituales.
Pues bien, esta sencilla ecuación diferencial tampoco tiene solución r=r(t) en la que r(t) sea la combinación de funciones habituales. Y eso sucede mucho con muchas ecuaciones diferenciales, cosa que es conveniente recordar para el futuro.
Saludos.