Determinar la relación carga/masa de iones.

[Pelasua]

Tengo dudas sobre la realización de este ejercicio:

Un chorro de iones es acelerado por una diferencia de potencial de 10000 V, antes de penetrar en un campo magnético de 1 T. Si los iones describen una trayectoria circular de 5 cm de radio, determina su relación carga-masa.

Al pedir la relación carga-masa entiendo que habría que utilizar la relación entre las fórmulas de la fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton, pero no sabría seguir a partir de ahí.
¿Alguien puede ayudarme con el razonamiento de dicho problema?
Muchas gracias.

[sater]

Primero, saca la velocidad con la que penetran en el campo magnético. Recuerda que por conservación de la energía, $q\Delta V=\frac{1}{2} mv^2$.
Después, como bien dices, usas la segunda ley de Newton teniendo en cuenta la ley de Lorentz y que el movimiento será circular: $qvB=mv^2/r$

[Pelasua]

Por conservación de la energía se da que la energía cinética es igual a la diferencia de potencial por unidad de carga. Se cumple ya que la fuerza que interacciona con los iones es electrostática y esta es conservativa, ¿no?. Al producirse todo esto en el campo eléctrico es posible. Una vez introducidas las partículas en el campo magnético, ya no se cumpliría pues la fuerza magnética no es conservativa. (Intento entender los conceptos).

[sater]

Efectivamente, por eso ahí echamos mano de la 2º ley de Newton.

[Al2000]

El radio de la trayectoria circular que describe una partícula cargada que se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme es

$$r = \frac {m v}{q B}$$

siendo $q, m$ la carga y la masa de la partícula, $B$ la inducción magnética y $v$ la rapidez de la partícula.Esta expresión la puedes conseguir deducida en cualquier libro y la obtienes cuando reconoces que la fuerza magnética es la fuerza centrípeta del movimiento circular.

Si tu objetivo es determinar la relación carga/masa, en la expresión anterior tienes como incógnita la rapidez de la partícula. Puesto que el enunciado te indica una cierta diferencia de potencial $V$ a través de la cual se acelera el ion, la rapidez de cada ion la puedes obtener a partir de la conservación de la energía, $\Delta E_c + \Delta E_p = 0$ (ausencia de fuerzas no conservativas) y recordando que la energía potencial asociada con un campo eléctrico viene dada por $U = q V$.

El problema no lo dice y entonces deberás asumir que la rapidez inicial de los iones es despreciable. La aplicación de la conservación de la energía te dejará con

$$\frac 1 2 m v^2 = q V$$

que, combinada con la expresión primera, te permitirá obtener $q/m$.

Al usar esta segunda expresión, trata la carga y la diferencia de potencial como valores absolutos, si no quieres enredarte. En realidad sería mas correcto escribir que

$$\Delta E_c = - q \Delta V$$

y manejar tanto la carga como la diferencia de potencial con sus signos apropiados. Nota que para acelerar el ion, si tiene carga positiva el $\Delta V$ debe ser negativo y viceversa, si el ion es negativo, entonces el $\Delta V$ debe ser positivo.

Si te quedan dudas, vuelve a preguntar.

Saludos,

$\mathcal A \ell$