1r ciclo Diseño de un solenoide

[Al2000]

Una pregunta reciente de una camarada del foro, me hizo recordar un bonito problema que hace unas dos o tres décadas leí en un estupendo libro cuyo autor no recuerdo, y lo propongo aquí para cualquiera que quiera ejercitar los sesos.

Dadas las dimensiones básicas del solenoide (longitud, diámetros), para obtener el campo de la mayor intensidad, ¿se debe utilizar un alambre delgado o grueso? Considérense tres situaciones: a) la corriente es fija, b) el voltaje aplicado es fijo y c) la potencia disipada es fija. Por simplicidad considerar que el aislante es una simple capa de barniz.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Entiendo que lo que pretende el enunciado es utilizar la aproximación de “solenoide largo y estrecho” según la cual el campo magnético creado por una corriente “i” en el eje de un solenoide de 1 capa de hilo conductor, compuesta por “n” espiras arrolladas en una longitud “a” se aproxima mediante:

$$B=\mu \dfrac n a i$$

Hay otras expresiones más exactas que aquí no usaremos, por ejemplo recordando que lejos de los bordes:

$B=\dfrac{L i}{n A}$

Y donde, según el hilo inductancia de la bobina, el coeficiente de autoinducción “L” se puede calcular mediante:

$L=\mu \ \pi \cdot 10 \ \dfrac{r^2 n^2}{9r+10a}$

Sustituyendo ($A=\pi r^2$) :

$$B=\mu \ \dfrac{10 n}{9r+10a} \ i$$

a) Corriente “i” fija

Suponemos a partir de ahora que $r << a$ y usamos (1)

$B=\mu \dfrac n a i$

Si despreciamos el grosor de esmalte aislante respecto del diámetro “d” del hilo:

$a=n \cdot d$

$B=\mu \dfrac i d$

Para obtener el mayor valor de “B” hay que arrollar el mayor número posible de espiras “n” y para ello hay que usar el menor diámetro de hilo. El diámetro mínimo a utilizar, lo marca el evitar excesivo calentamiento del hilo por soportar excesiva densidad de corriente.

$\sigma = \dfrac i S=\dfrac{4 i}{\pi d^2}$

Por lo tanto:

$d \geq 2 \sqrt{\dfrac i{\pi \sigma}}$

Según mi propia experiencia, con hilos esmaltados de grado 1 y clase térmica B (130ºC) una buena decisión (conservadora) que permite fiabilidad y larga vida al solenoide es limitar la densidad de corriente $\sigma$ por debajo de unos 12 A/mm²

b) Tensión aplicada “u” fija

$B=\mu \dfrac n a i$

$u=R \ i$

La Resistencia del hilo siendo “l” su longitud y “S” su sección:

$R=\rho \dfrac l S$

Sustituyendo:

$B=\mu \dfrac n a \dfrac u R=\mu \dfrac n a \dfrac S{\rho l} u$

$a=n \ d$

$S=\pi \dfrac{d^2}4$

Sustituyendo:

$B=\mu \dfrac{\pi d}{4\rho l} u$

Observando esta expresión ya se intuye que el mayor campo magnético se obtendrá con hilos gruesos. Pero como la longitud “l” del hilo también depende de su diámetro vamos a afinar un poco más. Si “r” es el radio del solenoide:

$l=2\pi \left (r+\dfrac d 2 \right ) \cdot n=2\pi \left (r+\dfrac d 2 \right ) \cdot \dfrac a d$

Sustituyendo y operando obtengo:

$B=\dfrac{\mu}{8\rho \ a\left (\dfrac r{d^2}+\dfrac 1{2 d}\right ) } \ u$

En donde se certifica que se obtiene mayor campo con diámetros de hilo mayores. Aquí la limitación está en no usar un diámetro “d” de hilo tan grande respecto del radio “r” de la bobina, que haga que la curvatura de las espiras sea tan grande que pueda dañar el esmalte aislante del hilo. Una buena elección para diámetros de hilo no demasiado gruesos es:

$r > 2 d$

Por lo tanto, usar el mayor diámetro de hilo posible con la limitación:

$d < \dfrac r 2$

c) La potencia “P” disipada es fija

$B=\mu \dfrac n a i$

$P=R i^2$

$R=\rho \dfrac l S$

$S=\pi \dfrac{d^2}4$

$a=n \ d$

Combinando obtengo:

$B=\dfrac{\mu}2 \sqrt{\dfrac{\pi P}{\rho \ l}}$

En donde se ve que el campo magnético depende poco del diámetro del hilo. Afinando más, como antes:

$l=2\pi \left (r+\dfrac d 2 \right ) \cdot \dfrac a d$

$B=\mu \cdot \sqrt{\dfrac P {8 \rho \ a \left ( \dfrac r d + \dfrac 1 2 \right )}}$

El campo aumenta ligeramente con el diámetro del hilo. Con los mismos argumentos, la limitación del diámetro será la misma de antes:

$r > 2 d$

Saludos.