Secundaria Ley de Lenz

[alexpglez]

Hola, me preguntaba si alguien me podría explicar la ley de lenz, y los conceptos de flujo magnético entrante y saliente.
El problema está, que sé que matemáticamente viene de los conceptos de integral por un camino cerrado y la superficie normal. Gráficamente deduzco por lo que nos han enseñado que el sentido de ambos (vector normal y circuito cerrado) viene determinado por la mano derecha. Así pues una vez elegido la curva que parametrizo y el sentido, puedo calcular el flujo (a secas) su - derivada, y así ver qué dirección lleva el campo eléctrico con respecto a la normal de la superficie, que por ley de ohm sé que la corriente lleva el mismo sentido.

Pero me ha dicho que así no se lo puedo expresar, que tengo que escribir no sé que serie de proposiciones condicionales. (No me acuerdo muy bien ahora mismo), si el flujo entrante aumenta, la corriente del conductor tiende a crear un campo magnético para que disminuya el flujo (¿entrante?) y por la regla de la mano derecha se calcula el sentido de la corriente, y viceversa en caso contrario.

Mi duda es, flujo, flujo entrante, flujo saliente. ¿Cómo se definen, qué significa el apellido entrante o saliente? ¿Y cuál es el criterio del sentido del normal de superficie en la Ley de Lenz?
Porque entiendo yo, al problema se puede mirar desde varias perspectivas, y cuando las líneas de campo de un imán entran en una espira por el lado derecho, estas también sales por el lado izquierdo. Y dependiendo el vector normal que elijas, puede salir negativo o positivo y por tanto aumentar y disminuir para una misma situación (aumentando sólo el valor absoluto del flujo por ejemplo).

Gracias, un saludo.

[The Higgs Particle]

Re: Ley de Lenz

Lenz es el Le Châtelier de la física: el sistema se opone a todo aquello que se le aplica.

Convencionalmente, el campo magnético entrante se representa con X y es aquel que lleva la dirección del eje x en este sistema de coordenadas y sentido $- \vec i$. Por otro lado, el campo magnético saliente hace referencia aquel que va en sentido $+ \vec i$. Es decir, si pensamos en el plano YZ, el campo entrante es aquel que, si nos encontramos en un punto $a > 0$ de forma$(a,b,c )$, vemos que el campo entra (atraviesa ese plano). Desde ese punto que se encuentra en la región positiva del eje X (no importa dónde de Z e Y), lo que vemos del campo magnético marcado con círculos es que sale de él, que se va a chocar con nosotros.

De esta forma, si nosotros tenemos un alambre circular paralelo al eje XY y acercamos el polo norte de un imán, lo que estamos haciendo es que en esa región aumente el flujo magnético entrante (que va hacia abajo, atravesando el plano), de forma que se va a inducir corriente eléctrica de tal forma que contrarreste lo que nosotros estamos haciendo: es decir, va a aumentar el flujo magnético saliente.

Para aplicar la regla de la mano derecha, tu dedo pulgar debe coincidir con la dirección del cable. Por ello, en este caso, como debe crear un flujo hacia arriba, el resto de dedos de tu mano han de apuntar hacia arriba. Y más importante: han de estar en el interior del conductor (en este caso, del cilindro). Es el campo magnético del interior del conductor el que apunta hacia arriba. De esta forma, cogiendo cualquier lado del conductor, debería salir que la corriente va en sentido antihorario.


Aquí tienes otros ejemplos:

En el primer caso, acercamos el polo norte (aumenta el flujo del campo magnético), pero en el segundo alejamos el imán. Fíjate que en la primera imagen la corriente eléctrica inducida crea un campo magnético que apunta hacia abajo y en el segundo caso, hacia arriba.

[arivasm]

Re: Ley de Lenz

Yo prefiero hablar de flujo inductor y de flujo creado por la corriente inducida. El segundo se opone a la variación del primero.

Los sentidos, etc, son necesarios no para la ley de Lenz, sino para la de Faraday, pues el sentido de recorrido del circuito es el que determina (mediante una regla de mano derecha) el sentido de los vectores superficie que aparecen en el cálculo del flujo.

[alexpglez]

Re: Ley de Lenz


Creo que esta imagen expresa lo que quiero preguntar. Primero, dado el problema hay dos maneras de mirarlo que las lineas de campo entran o salen. Segundo, se pueden escoger 2 vectores que sean normales a la superficie.
Tercero, la ley $\oint_{\partial_+ S} \vec E \cdot d\vec l= -\frac{d}{dt}\iint_S \vec B \cdot d \vec S$ no habla de la corriente, si no que se induce un campo eléctrico. La ley de que se induce corriente es relacionando la de Farady_Lenz, con la ley de Ohm para conductores.

[arivasm]

Re: Ley de Lenz

Sobre que las líneas de campo entran o salen: por ejemplo, en el dibujo de arriba a la izquierda puedo decir que, con la vista dibujada, hay un flujo magnético entrante (la palabra que usemos es lo de menos: si prefieres, diremos "dirigido hacia dentro del papel").

• Si este flujo inductor no cambia no habrá corriente inducida.
• Si aumenta, por ejemplo porque el imán se esté aproximando hacia la espira, entonces la corriente inducida producirá un flujo magnético que se opone a ese aumento; es decir, creará un campo que en el interior de la espira apuntará hacia afuera del papel (lo que implica que la corriente inducida tendrá sentido antihorario).
• Si el flujo inductor estuviese disminuyendo (porque el imán se aleja de la espira, o porque esta está rotando) la corriente inducida producirá un flujo magnético que se opone a esa disminución, es decir, el campo magnético creado por dicha corriente apuntará hacia adentro en el interior de la espira (lo que significa que la corriente inducida tendrá sentido horario).

En los párrafos anteriores hemos usado la ley de Lenz, simplemente. Vayamos ahora con la ley de Faraday (mejor dicho, como bien pones, de Faraday-Lenz).

Lo primero que necesitamos es optar por uno de los dos sentidos posibles para recorrer el circuito, pues ello nos determinará dos cosas: el signo de la fuerza electromotriz y el sentido de los vectores superficie. Por ejemplo, elijamos recorrer el circuito en sentido horario. De esa manera los vectores superficie apuntan hacia dentro del papel, de manera que los productos escalares $\vec B\cdot\dd\vec S>0$. El flujo magnético a través de la espira, $\iint_S \vec B \cdot d \vec S$, será una cantidad positiva.

Si está aumentando, porque el imán se aproxime (bla, bla), su derivada será una cantidad positiva y entonces la fuerza electromotriz inducida $\oint_{\partial_+ S} \vec E \cdot d\vec l$ será negativa: hemos elegido el sentido contrario al de la corriente inducida, o mejor dicho los productos $\vec E\cdot\dd\vec l$ son negativos, es decir, el campo inducido $\vec E$ tiene sentidos opuestos a los de los $\dd\vec l$ (recordemos, elegidos para el sentido horario).

¿Habría cambiado el resultado si hubiésemos elegido recorrer la espira en sentido antihorario? Por supuesto que no: los vectores superficie apuntarían hacia fuera del papel, los productos escalares $\vec B\cdot\dd\vec S<0$, por lo que al ser un flujo negativo si el campo aumentase, por ejemplo, tendríamos una función cada vez más negativa, esto es, decreciente. En consecuencia la fuerza electromotriz inducida sería positiva, lo que implica que ahora sí hemos elegido el sentido de la corriente inducida.

Por supuesto, el análisis para el caso en que el valor absoluto del flujo disminuyese (porque se aleje el imán o gire la espira, etc) se manejaría exactamente igual.

Aclararé que, como bien dices, en realidad no habría que meter para nada la corriente inducida. Basta con encontrar el valor (con su signo!) de la fem inducida en el sentido elegido. Si después lo queremos traducir a corriente simplemente tiramos de ley de Ohm y listo.

Como ves, una clave fundamental para manejar correctamente la ley de Faraday-Lenz está en entender que el signo de la fem (al igual que pasa con la intensidad de corriente) depende del sentido elegido para recorrer un circuito (exactamente igual que nos sucede en un circuito cualquiera, como por ejemplo uno tipo pila-resistencia).

[alexpglez]

Re: Ley de Lenz

Sobre la teoría de lo primero que dices, para usar la ley de Lenz, y hablamos de flujo inductor o entrante, hablamos de cuando el producto $\vec B \cdot \vec S >0$ es positivo, y por lo tanto el ángulo que forman está entre 0 y 90. En este sentido tiene algo de lógica, puesto que si fuese arbitrario el sentido de $\vec S$ daría resultados contrarios para cada sentido.

Entiendo entonces que esta es una regla particular de la ecuación $\oint_{\partial _+ S}\vec E \cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\iint_S \vec B \cdot d \vec S$, en el que se escoge que el vector superficie y B formen entre 0 y 90 grados, y en conductores, por la ley de ohm (ya que por si solo el campo magnético no induce corriente).

Ahora una pregunta histórica. Según tengo entendido, la Faraday dió o mejor dicho, explicó con palabras que la variación del campo magnético induce corriente. Después Lenz demostró, creo que por la conservación de la energía, cuál debería ser el sentido de la corriente. ¿Éste último fue el que se dio cuenta que lo que se induce en realidad es el campo eléctrico y dió con la ecuación integral?
Por otra parte, en un circuito eléctrico, campo eléctrico y densidad de corriente son proporcionales y con el mismo sentido. ¿Ésto no causaría problemas después para diferenciar campo y corriente?

[arivasm]

Re: Ley de Lenz

Entiendo entonces que esta es una regla particular de la ecuación $\oint_{\partial _+ S}\vec E \cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\iint_S \vec B \cdot d \vec S$, en el que se escoge que..

No exactamente. En realidad es una regla general para el teorema de Stokes ($\int_S \vec\nabla\times\vec E\cdot\dd\vec S=\oint_\Omega \vec E\cdot\dd\vec l$)*: el sentido de los vectores superficie $\dd\vec S$ se corresponde con el de recorrido del camino cerrado $\Omega$ que delimita la superficie $S$, y que se corresponde con el de sus elementos $\dd\vec l$, por la regla de mano derecha que te comenté en mi post anterior.

*La ley de Faraday-Lenz, escrita en la forma integral que mencionas, es la transformación a forma integral (vía teorema de Stokes) de la ecuación de Maxwell $\dst\vec\nabla\times\vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$

Ahora una pregunta histórica. Según tengo entendido, la Faraday dió o mejor dicho, explicó con palabras que la variación del campo magnético induce corriente. Después Lenz demostró, creo que por la conservación de la energía, cuál debería ser el sentido de la corriente. ¿Éste último fue el que se dio cuenta que lo que se induce en realidad es el campo eléctrico y dió con la ecuación integral?

La ley de Faraday es de 1831 mientras que la de Lenz es de 1834. Por lo que sé, y que se puede confirmar por ejemplo aquí, el enunciado original de Lenz no adopta la forma integral que mencionamos antes. La verdad es que no sé quién le dio finalmente a la ley de Faraday-Lenz dicha forma (o la diferencial asociada), pero si tuviese que apostar por alguien lo haría por Maxwell. Quizá algún compañero del foro pueda aportarnos esta información.

en un circuito eléctrico, campo eléctrico y densidad de corriente son proporcionales y con el mismo sentido. ¿Ésto no causaría problemas después para diferenciar campo y corriente?

La relación $\vec J=\sigma\vec E$ es la forma diferencial de la ley de Ohm. De todos modos, el que campo y densidad de corriente tengan el mismo sentido (incluso aún cuando no sean proporcionales) no veo que deba causar ningún problema. ¿Podrías aclarar tu pregunta?

[alexpglez]

Re: Ley de Lenz

La relación $\vec J=\sigma\vec E$ es la forma diferencial de la ley de Ohm. De todos modos, el que campo y densidad de corriente tengan el mismo sentido (incluso aún cuando no sean proporcionales) no veo que deba causar ningún problema. ¿Podrías aclarar tu pregunta?

Utilizando la ley de Ohm, tenemos estas dos leyes en un conductor:

$$\nabla \times \vec J=-\sigma \frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

$$\nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

O en su forma integral, siendo $\Phi$, el flujo magnético:

$$I=-\frac{1}{R} \frac{d \Phi}{d t}$$

$$V=-\frac{d \Phi}{d t}$$

Por lo que entiendo, se hacían muchos experimentos sobre electricidad y magnetismo en conductores, puesto que esto es más fácil desde un punto de vista práctico. Pero ahora bien, fuera de los conductores, ¿se inducen "Voltios" o "Amperios", 1 o 2?

Aunque el problema parece bastante sencillo de resolver, haciendo circuitos resistencia bobina y pila y midiendo diferentes resultados obtenidos.

[arivasm]

Re: Ley de Lenz

fuera de los conductores, ¿se inducen "Voltios" o "Amperios", 1 o 2?

La ley de Faraday-Lenz en forma diferencial, $\dst\vec\nabla \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ nos da la respuesta a tu pregunta: la existencia de un campo magnético variable en el tiempo origina un campo eléctrico (con rotacional no nulo, y entonces no conservativo). La circulación del mismo a lo largo de un camino cerrado (sea abstracto o sea un conductor), que es lo que se denomina fuerza electromotriz (y que se expresa en unidades de potencial) será no nula (a diferencia de los campos eléctricos conservativos). El que esa fuerza electromotriz se traduzca en densidad de corriente evidentemente implica la necesidad de que haya carga libre (como sucede con las cargas de un conductor).

Así pues, en resumen, voltios siempre, amperios sólo si hay cargas libres.

[Julián]

Re: Ley de Lenz

Utilizando la ley de Ohm, tenemos estas dos leyes en un conductor:
(1)
(2)
O en su forma integral, siendo , el flujo magnético:
(1')
(2')

$\dst {\oint}_{l} \vec{E}. d \hat{l} = \epsilon = - \frac{\partial}{\partial t} {\int}_{S} \vec{B} d \vec{S}$

Que exista una diferencia de potencial $\epsilon$ en la periferia de la superfice $S$ no implica que halla circulación de cargas, ya que dicho fenómeno puede presentarse en el vacio donde existen los campos eléctrico y magnético pero no cargas. Luego dependiendo el material pueden pasar muchas cosas, por ejemplo, si se coloca un espiral de un material superconductor, donde ya sabes que no existe campo eléctrico en su interior, entonces ¿qué pasa con la fuerza electromotriz $\epsilon$? y la respuesta es fácil, no existe y por lo tanto no debe existir variación de flujo magnético, porque la ley de faraday es una ley. Y ¿cómo no existe variación de flujo magnético? Pues porque en el superconductor se induce una corriente $\vec{J}$ de manera tal que su sentido produzca un campo magnético de sentido opuesta y donde en la suma vectorial de cero. Ahí no hay variación de flujo magnético y por lo tanto no hay fuerza electromotriz (diferencia de potencial) pero si hay circulación de cargas. Evidentemente la densidad de corriente es variable ya que el flujo es variable pero siempre de un sentido que produzca un campo opuesto al primero. La relación entre la densidad de corriente la da la ley de ampere:

$\dst \nabla \times \vec{B} = \mu \vec{J} + \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{t}$

Ahora si ponemos una espira de un conductor común como el cobre ahí si existe una fuerza electromotriz a lo largo de la espira producida por la variación del flujo magnético y como es un material con resistencia la corriente será proporcial a la diferencia de potencial. Lo interesante es nuevamente al haber corriente y esta por la ley de ampere induce un campo magnético que como tiene el mismo sentido al campo eléctrico el campo inducido se opone al campo principal y disminuye la fuerza electromotriz. Así que mientras más corriente halla mayor tendrá que ser la variación del flujo magnético para mantener la diferencia de potencial y esto pasa en los generadores

La teoría de circuito, donde se aplica la ley de Ohms junto con las leyes de kirchoff o Norton no se aplica en todos los casos físicos sino que es un simplificación para poder trabajar menor, en el caso del superconductor no se aplica por ejemplo y tampoco se aplica cuando las señales de tensión y corriente tienen una longitud de onda aproximada a los componentes electrónicos.