Condición necesaria para la ley de ampere

[german153]

En un blog que ahora no encuentro leí que no se podía aplicar Ampere para el caso de un cable finito, porque la curva cerrada no está "encerrando" corriente, ya que el cable no termina como una espira ¿Es esto correcto? Yo tenía entendido que lo que importaba para aplicar Ampere era que hubiese/n corriente/s que atravesara/n el área de la curva cerrada de integración.

Pero ahora que lo pienso, el campo dado por una barra finita es $\displaystyle\frac{\mu_0 I}{4 \pi R}(sen \theta_1+sen \theta_2)$ mientras que el de una barra infinita es $\displaystyle\frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$

Se podría reformular la condición de la siguiente manera? "Se puede aplicar la ley de Ampere siempre que la corriente recorra un circuito cerrado (espira) o que la corriente llegue mucho más lejos del área de integración.

PD: también siempre he pensado en la curva de integración como una curva en un plano, pero ahora estoy pensando que mi enunciado anterior se complica si le añadimos la complejidad de tener curvas en R3.

Espero que me ayuden por favor, ¡gracias!

[Al2000]

En principio el asunto es que la Ley de Ampère no es válida para corrientes variables en el tiempo (y una corriente abierta finita forzosamente será variable), sino solamente para corrientes estacionarias. En el caso de corrientes variables hay que considerar la contribución de la variación del flujo eléctrico a través de la superficie limitada por la curva de integración. Si quieres investigar un poco más, busca en la bibliografía o en internet la Ley de Ampère generalizada o Ley de Ampère-Maxwell.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[arivasm]

Mi contribución consiste en recordar un pequeño detalle del enunciado de la ley de Ampère (incluida la forma generalizada, de Ampère-Maxwell, con el término de corriente de desplazamiento) que suele pasar desapercibido: la superficie apoyada en el contorno sobre el cual se calcula la circulación del campo magnético es cualquiera, no hace falta que sea plana (entre otras razones porque nada obliga a que el contorno de integración lo sea!).

Para explicarme, consideraré la ley de Ampère original: $\oint \vec B\cdot\dd\vec r=\mu_0 I$. Recordemos: $I$ es la intensidad neta de corriente que atraviesa a cualquier superficie que se apoye (tenga por límite) el contorno sobre el cual se calcula $\oint\vec B\cdot\dd\vec r$. Por ejemplo, en el hilo rectilíneo infinito está claro que efectivamente no importa cuál sea dicha superficie, como vemos en esta figura:

La intensidad de corriente que atraviesa a $S_1$ (la superficie verdosa) es la misma que la que atraviesa a la $S_2$ (amarilla).

Por supuesto, si el cable fuese finito y pudiese terminar en algún punto, dejando de lado que eso, si no pasa nada "especial", no sería físicamente realizable (no se cumpliría la conservación de la carga, en dicho punto desaparecería), la ley ya no sería verdad:

En realidad sí puede haber algo "especial": que se trate de una de las placas de un condensador que está siendo cargado o descargado:

Por tanto, está claro que a la ley de Ampère le falta algo: el término descubierto por Maxwell. Es por eso que en realidad la ley dice así: $\oint\vec B\cdot\dd\vec r=\mu_0 I +\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\int \vec E\cdot\dd\vec S$. Pero ésta ya es otra historia (que es a la que se refiere Al).

[german153]

Gracias a los dos! efectivamente me refería a lo que menciona Arivasm. Ahora, buscando en distintas fuentes encuentro que el enunciado de la ley de Ampere menciona lo del campo estacionario (para salvar el asunto de la corriente de desplazamiento), pero no veo que incluyan la condición de que el conductor sea cerrado (sobre el infinito o no). ¿No debería agregarse esta condición también?

[arivasm]

Como ha escrito Al, para poder tratar casos de hilos finitos, en los que la corriente termina en algún sitio (otro ejemplo sería dos conductores cargados, inicialmente a diferente potencial y que están en contacto con un hilo por el que se transfiere carga entre ellos) habría que aplicar la ley de Ampère-Maxwell.

En definitiva, digamos que la ley de Ampère simplemente es incompleta. Aunque no vendría mal añadir a su enunciado los límites que posee, no es habitual hacerlo. Por ejemplo, nadie enuncia la segunda ley de Newton diciendo "para una partícula cuya velocidad sea suficientemente pequeña..." (para evitar el dominio relativista). A nada que lo pienses te darás cuenta de que eso mismo sucede con muchas otras leyes físicas.

[german153]

Buen punto. De cualquier manera ahora entendí que en este caso la condición de ser una espira cerrada (sobre el infinito o no), está incluida en la condición de que la corriente sea estacionaria. Es en esencia lo que dijo Al2000, pero lo llegué a entender después de publicar mi último comentario.

Nuevamente, gracias a los dos!