Otras carreras Circuito RLC serie: régimen transitorio con fuente de corriente alterna

[benja18]

en el circuito rlc serie de la figura R=10 ohm , C=1uF , L=1mH.
a)indique si la curva graficada puede ser la que registro el voltimetro v1 o el v2, explique
b)determine el valor de la frecuencia de la oscilacion ¿ por que decrece la amplitud?
c)analice como determinar con las lecturas de v1 y v2 si el circuito esta en resonancia

[Alriga]

Hola benja18, bienvenido a La web de Física, como nuevo miembro lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

¿No te dan ningun dato más, como por ejemplo el valor de la tensión del generador VT?

Saludos.

[benja18]

no, solo me dan esos datos. gracias saludos

[Alriga]

en el circuito rlc serie de la figura R=10 ohm , C=1uF , L=1mH.
a)indique si la curva graficada puede ser la que registro el voltimetro v1 o el v2, explique ...

Inicialmente, al conectar el circuito el condensador descargado es un cortocircuito, por lo tanto V1 sería al principio solo la tensión en la resistencia. Conforme avanza el tiempo el condensador se va cargando y V1 debería ir aumentando, sin embargo en el gráfico la tensión hace lo contrario, va disminuyendo.

En cambio, inicialmente una bobina descargada es como un circuito abierto y conforme pasa corriente por ella la tensión va disminuyendo. Por lo tanto creo que el gráfico corresponde a V2.

... b)determine el valor de la frecuencia de la oscilación ¿por que decrece la amplitud? ...

Según parece, hay un máximo en cero, otro en 200 us y otro en 400 us. Por lo tanto el período parece ser de 200 us. La frecuencia:

$f=\dfrac 1 T=5 \ kHz$

La amplitud decrece porque la tensión en una inductancia inicialmente descargada va disminuyendo conforme va pasando corriente por ella

... c)analice como determinar con las lecturas de v1 y v2 si el circuito esta en resonancia

La frecuencia de resonancia de un circuito RLC serie es:

$f=\dfrac 1{2\pi \sqrt{LC}}=5032.9 \ Hz$

Por lo tanto podemos considerar que como f=5 kHz el circuito está prácticamente en resonancia con pulsación w=31415.9 rad/s. En régimen permanente:

$Z_L=w L=31.42 \ \Omega$

$Z_C=\dfrac 1{w C}=31.83 \ \Omega$

$Z_R=R=10 \ \Omega$

Como R, L y C están en serie, por los tres pasa la misma corriente, por lo tanto las tensiones estarán en las mismas proporciones que las impedancias, vemos pues que $U_L\approx U_C \approx 3U_R$. Cuando se ha extinguido el régimen transitorio y solo queda el régimen permanente senoidal:

* Sabemos que el voltímetro V2 marca $V_2=U_L$

* El voltímetro V1 marca el módulo de la suma fasorial de $U_R$ y $U_C$ que son fasores perpendiculares:

$V_1=\sqrt{U_R^2+U_C^2}\approx \sqrt{\left (\dfrac{U_C}3 \right )^2+U_C^2}=1.11 U_C$

Como en resonancia $U_C=U_L=V_2 \Longrightarrow V_1 \approx 1.11 V_2$

Saludos.

[Al2000]

Lo que yo no entiendo es que si el elemento marcado "VT" es una fuente de CA, puedas tener una curva amortiguada en algún punto del circuito. En todo caso deberías tener una señal de alguna amplitud constante, consistente con un oscilador forzado, pero la gráfica lo que muestra es una oscilación amortiguada consistente con haber cortocircuitado la ¿fuente? VT en algún momento.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[benja18]

Pienso igual, pero no estoy seguro de que no exista la otra posibilidad. Saludos

[Alriga]

... Lo que yo no entiendo es que si el elemento marcado "VT" es una fuente de CA, puedas tener una curva amortiguada en algún punto del circuito ...

Sí que es posible, voy a intentar demostrarlo estudiando el régimen transitorio del circuito serie RLC alimentado en corriente alterna. La ecuación diferencial del circuito serie RLC alimentado en alterna, si en el instante inicial la tensión está en el máximo y tanto el condensador como la inductancia están descargados es:

$\dst E_m \cos w t=R i+L\dfrac{di}{dt}+\dfrac 1 C \int_{-\infty}^t i dt$

La ecuación diferencial homogénea es:

$\dst R i+L\dfrac{di}{dt}+\dfrac 1 C \int_{-\infty}^t i dt=0$

$L\dfrac{d^2i}{dt^2}+R\dfrac{di}{dt}+\dfrac 1 C i=0$

Desempolvando vetustos y amarillentos apuntes encuentro que, llamando:

$a_1=-\dfrac R{2L}+\sqrt{\left (\dfrac R{2L}\right )^2-\dfrac 1{LC}}$

$a_2=-\dfrac R{2L}-\sqrt{\left (\dfrac R{2L}\right )^2-\dfrac 1{LC}}$

La solución de la ecuación diferencial homogénea es:

$i_h(t)=k_1 \ee^{a_1 t}+k_2 \ee^{a_2 t}$

Y llamando:

$X_L=w L$

$X_C=\dfrac 1{w C}$

$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$

$\phi=\arctan \dfrac{X_L-X_C}R$

$I_m=\dfrac{E_m}Z$

La solución general de la ecuación diferencial completa si $a_1$ y $a_2$ son reales es:

$$i(t)=I_m \cos (w t-\phi)+k_1 \ee^{a_1 t}+k_2 \ee^{a_2 t}$$

Observad que $a_1$ y $a_2$ pueden ser o reales negativos o complejos, pero si son complejos, necesariamente su parte real es negativa, lo que implica amortiguamiento y que en el infinito las dos exponenciales se extinguen quedando solo el régimen permanente:

$i_{rp}(t)=I_m \cos (w t-\phi)$

Por si apetece poner números, para acabar, falta determinar los valores de las constantes a partir de las condiciones iniciales. Para calcularlas, hay que resolver el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

$$k_1+k_2+I_m\cos(-\phi)=0$$

$$k_1 a_1+k_2 a_2- w I_m\sin (-\phi)=\dfrac{E_m}L$$

Si $a_1$ y $a_2$ son números complejos, cosa que sucede cuando

$\dfrac 1{LC} > \left (\dfrac R{2L}\right )^2$

La solución es:

$$i(t)=I_m \cos (w t-\phi)+\ee^{-\frac R{2L} t}\left [c_1\cdot \sin \left (\sqrt{\dfrac 1{LC}-\left (\dfrac R{2L}\right )^2} \ t\right )+c_2\cdot \cos \left (\sqrt{\dfrac 1{LC}-\left (\dfrac R{2L}\right )^2} \ t\right )\right ]$$

Llamando:

$a=\dfrac R{2L}$

$b=\sqrt{\dfrac 1{LC}-\left (\dfrac R{2L}\right )^2}$

Y estableciendo que las condiciones iniciales son:

$i(0)=0$

$\dfrac{\dd i}{\dd t}(0)=\dfrac{E_m}L$

Se obtiene:

$c_1=\dfrac 1 b \left ( \dfrac{E_m}L- aI_m \cos \phi - w I_m \sin \phi \right )$

$c_2=-I_m \cos \phi$

Finalmente, aparte de lo expuesto creo que coincido contigo Alberto, en que el enunciado de este ejercicio es bastante "raro". No sé yo si lo que realmente pretendían es que la tensión fuese una fuente de corriente contínua y se colaron en el dibujo pintando una fuente de corriente alterna.

Saludos.

[benja18]

Perfecto. Se me aclara un poco el panorama ahora.
saludos