1r ciclo Calculando la densidad de carga para un campo eléctrico dado en coordenadas cilindricas.

[lindtaylor]

Hola. Después de muchos años vuelvo a postear.
Me topé con este problema de libro "fundamentos de electromagnetismo" del autor Cheng.

Dado $\vec{E}=a_r (20/r^2) [C/m^2]$ en el espacio libre, calcule $\rho_{v}$ en el punto $(3,-4,1) [cm]$ (acá $a_{r}$ es la componente radial de las coordenadas cilindricas)
Según el libro, la repuesta es $-1.42 [nC/m^2]$ ($n=10^{-9}$)- A mi me da $-1.42[\mu C/m^2]$ ($\mu=10^{-6}$)
Tengo esto:
$\displaystyle div\cdot \vec{E}=\rho_{v}/\epsilon_{0}$
$\displaystyle \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial{r}} (r 20/r^2)=\rho_{v}/\epsilon_{0}$ (corregido)
$\displaystyle -20/{r^3}={\rho_{v}}/{\epsilon_{0}}$
$\displaystyle r=\sqrt{3^2+(-4)}=5 [cm]=0.05[m]$
Así, $\displaystyle -20/(0.05^3)={\rho_{v}}/\epsilon_{0}$
$\displaystyle -160000\epsilon_{0}=\rho_{v}$
$\displaystyle -160000 \frac{1}{36\pi}10^{-9}=\rho_{v}$ (acá use el valor que dan en el libro para $\epsilon_{0}$)
$-1.42 [\mu C/m^2]$


Por otro lado, traté de resolverlo mediante la forma integral pero no logro llegar a lo mismo. Me gustaría ver cual es mi error.
Suponiendo una superficie cilindrica de largo L y radio r
$\displaystyle\int \vec{E}\cdot d\vec{s}=Q/\epsilon_{0}$
$\displaystyle\int_{0}^{L} \int_{0}^{2\pi} a_r(20/r^2) rd\phi dz=\frac{{\rho_v}v}{\epsilon_{0}}$
$\displaystyle\frac{20}{r} 2\pi L=\frac{ \rho_{v} \pi r^2 L}{\epsilon_{0}}$
$\displaystyle\frac{20r^3} 2\epsilon_{0}={\rho_{v}}$
Donde no es para nada el mismo resultado del principio.
¿Cómo sería la solución en su forma integral? Lo pregunto de curiosidad.

[Al2000]

Cuando dices que $\dst Q = \rho_v v$ en tu segunda integral, estás diciendo que $\rho_v$ es constante, lo cual claramente no es cierto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Del planteo veo raro que esto

$\displaystyle div\cdot \vec{E}=\rho_{v}/\epsilon_{0}$

sea lo mismo que

$\displaystyle r\frac{\partial}{\partial{r}} (20/r^2)=\rho_{v}/\epsilon_{0}$

es decir no veo como $\displaystyle r\frac{\partial}{\partial{r}} (20/r^2)=\displaystyle div\cdot \vec{E}=\displaystyle div\cdot \vec a_r (20/r^2) [C/m^2]$

me sobre r en el primer termino , o es un error de tipeo o no se identifica bien el versor radial.

y tampoco veo que sea cierto que de

$\displaystyle r\frac{\partial}{\partial{r}} (20/r^2)=\rho_{v}/\epsilon_{0}$
$\displaystyle -20/{r^3}={\rho_{v}}/{\epsilon_{0}}$

hay algún error de tipeo, que no interpreto pues $\displaystyle \frac{\partial}{\partial{x}} (x^{-2})=-2x^{-3}$

[lindtaylor]

Del planteo veo raro que esto


sea lo mismo que


es decir no veo como $\displaystyle r\frac{\partial}{\partial{r}} (20/r^2)=\displaystyle div\cdot \vec{E}=\displaystyle div\cdot \vec a_r (20/r^2) [C/m^2]$

me sobre r en el primer termino , o es un error de tipeo o no se identifica bien el versor radial.

y tampoco veo que sea cierto que de




hay algún error de tipeo, que no interpreto pues $\displaystyle \frac{\partial}{\partial{x}} (x^{-2})=-2x^{-3}$

Toda la razón. Lo tipié mal. Debe ser $\displaystyle \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial{r}}(r 20/r^2)$

[lindtaylor]

Cuando dices que $\dst Q = \rho_v v$ en tu segunda integral, estás diciendo que $\rho_v$ es constante, lo cual claramente no es cierto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

conceptualmente tengo una confusión. La carga Q es la encerrada por la superficie cilíndrica y la integral es tomada sobre la superficie cilíndrica pero dado esto, siempre la integral tendría limites de integración de 0 a $2\pi$ para el ángulo azimutal $\phi, 0<r<\infty$ para el radio y 0<z<L para la altura. Creo que he olvidado esta materia

[Al2000]

Lo que escribes es casi correcto... sólo que es una integral de volumen; se extiende a todo el volumen encerrado por la superficie cilíndrica de radio $r$: $\dst Q = \int_0^L \int_0^{2 \pi } \int_0^r \!\! \rho_{v (r')}\, r' dr'\, d \phi \, dz$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[lindtaylor]

Lo que escribes es casi correcto... sólo que es una integral de volumen; se extiende a todo el volumen encerrado por la superficie cilíndrica de radio $r$: $\dst Q = \int_0^L \int_0^{2 \pi } \int_0^r \!\! \rho_{v (r')}\, r' dr'\, d \phi \, dz$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Entiendo. Entonces lo correcto seria.

$\int \vec{E}\cdot d\vec{s}=Q/\epsilon_{0}$
$\displaystyle \int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi} a_r (20/r^2) rd\phi dz=\left(\int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \rho_{v}(r') r'dr' d\phi dz\right)/\epsilon_{0}$ y al final evaluar $r=0.05 [m].$. Aún asi me parece extraño que siempre la integración tenga esos limites de integración. Por un momento pensé que, como pedían información en el punto (3,-4,1), debía integrar desde 0 a $\arctan(-4/3)$ (pues el punto (3,-4,1) tiene coordenada $a_{\phi}\arctan(-4/3)$ azimutal en coordenadas cilíndricas.
$\left(\int_{0}^{L}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r} \rho_{v}(r') r'dr' d\phi dz\right)=2\pi L\int_{0}^{r} \rho_{v}(r')r'dr'$y acá no podría integrar al no conocer la función $\rho_{v}(r')$. Supongo que solo se puede resolver con la forma diferencial.

[Al2000]

Si continúas por el camino empezado tendrías que, al resolver las integrales triviales en $\phi$ y $z$ y simplificar,

$$\frac {20} r = \frac 1 {\epsilon_0}\int_0^r\!\! \rho_{v(r')} r'\, dr'$$

la cual podrías resolver derivando para obtener que

$$- \frac {20}{r^2} = \frac {\rho_{v(r)}r}{\epsilon_0}$$

y deberías llegar a lo mismo que si hubieses empezado usando la forma diferencial.

Saludos,

$\mathcal A \ell$