1r ciclo Carga puntual y superficies equipotenciales

[Marcos Castillo]

Hola, tengo esta imagen de una carga puntual. $\vec{E}$ disminuye radialmente. ¿Por qué las superficies equipotenciales se generan en esa progresión?
Mi intento:
$E=\dfrac{kq}{r^2}$
$V=\dfrac{kq}{r}$
$E\cdot{r}=V$
Éste es el módulo del potencial. El campo disminuye radialmente, Es una función del radio. Y hay que multiplicarlo por el radio que escojamos para conocer el potencial, y también está la fórmula $E=-\dfrac{\Delta{V}}{\Delta{x}}$. No, estoy caminando en círculos: ésta última fórmula, si equiparamos $\Delta{x}$ a $r$, entonces $E\cdot{r}=-\Delta{V}$. Ni rastro de las superficies equipotenciales.
¿Decir superficie equipotencial es decir $\Delta{V}=0$?
Un saludo

[JCB]

Hola a tod@s.

Para una carga puntual $Q$, puedes llegar a la expresión de la diferencia de potencial entre dos puntos como la siguiente

$V_2-V_1=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$. Esta expresión toma el valor , cuando $r_1=r_2$. Es decir, se cumple para cualquier punto que esté a la misma distancia de $Q$. Y todos los puntos que están a la misma distancia de $Q$, generan una superficie esférica.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Si $r^2=x^2+y^2+z^2$

Para una diferencia de potencial dada ,tomando potencial 0 e la carga, los puntos de la superficie equipotenciales de 3 dimensiones x,y,z se relacionan así

$\Delta V=cte= \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

o sea

$\left(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 \Delta V}\right)^2=r^2=x^2+y^2+z^2$

Que si la representas es una esfera.

Y si la ubicación de la carga no coincide con el origen de coordenadas, ubicándose en $(x_0,y_0,z_0)$

Tienes que la superficie cumple que

$\left(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 \Delta V}\right)^2=r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2$

[Alriga]

Complemento las explicaciones de JCB y Richard:

... ¿Decir superficie equipotencial es decir $\Delta{V}=0$? ...

No. Una superficie equipotencial tiene un potencial constante en toda ella. El valor de ese potencial puede ser a priori cualquier número real.

... tengo esta imagen de una carga puntual. $\vec{E}$ disminuye radialmente. ¿Por qué las superficies equipotenciales se generan en esa progresión? ...

Las superficies equipotenciales no se generan en ninguna progresión. En este caso particular, son esferas centradas en la carga. Todas las infinitas esferas que hay centradas en la carga, todas son superficies equipotenciales y no hay ninguna más "importante" que otra.

Pero como no es posible ni útil dibujar infinitas esferas, lo que se hace es dibujar solo unas pocas. Se suele usar como criterio para seleccionar las que dibujas, que entre las superficies dibujadas haya la misma diferencia de potencial, es decir se elije un valor de $\Delta V$, por ejemplo, yo que sé, 23.71 V y se dibujan esferas cada 23.71 V

Si la diferencia de potencial entre esferas dibujadas consecutivas queremos que sea constante, ¿será también constante la diferencia de radios? Vamos a demostrar que no:

$V_1=-\dfrac{KQ}{r_1}$

$V_2=-\dfrac{KQ}{r_2}$

$V_2-V_1=-\dfrac{KQ}{r_2} + \dfrac{KQ}{r_1}$

Despejamos $r_2$

$r_2=\dfrac{r_1}{1-\dfrac{V_2-V_1}{KQ} r_1}$

Sin pérdida de generalidad voy a usar un sistema de unidades en el que KQ=1 para simplificar notación, entonces:

$$r_2=\dfrac{r_1}{1-\Delta V \cdot r_1}$$

Supongamos que dibujo una primera esfera equipotencial con radio $r_1=0.1$ y a partir de ella quiero dibujar esferas equipotenciales separadas entre ellas por una diferencia de potencial constante igual a 1. Con $r_1=0.1$ uso (1) para calcular $r_2$, con el valor de $r_2$ uso (1) para calcular $r_3$ etc, obtengo*:

r = 0.1, 0.1111, 0.1250, 0.1429, 0.1667, 0.2, 0.2500, 0.3333, 0.5000, 1.0000, ...

Observa que para mantener entre esferas consecutivas dibujadas la diferencia de potencial de 1, los radios no pueden estar uniformemente espaciados tal como sería:

r = 0.1, 0.1111, 0.1222, 0.1333, 0.1444, 0.1555, 0.1666, 0.1777, 0.1888, ...

Esta es la tabla resumen de los radios de esferas equipotenciales a partir de r=0.1 separadas por una diferencia de potencial 1. Recordad que en las unidades que hemos escogido ( en las que KQ=1 ) el potencial y el campo son:

$$V=-\dfrac 1 r \qquad E=\dfrac 1{r^2}$$

Solo si has dibujado las superficies equipotenciales con el criterio de mantener la misma diferencia de potencial entre 2 superficies consecutivas, $\boldsymbol{\Delta V = cte}$ , la separación entre ellas es inversamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico:

$E=\dfrac{\Delta V}{\Delta r}$

Espero que se entienda, pero si tienes más dudas pregunta.

Saludos.

*PD. Si lo prefieres la expresión (1) que he usado de forma iterativa, se puede transformar en una expresión general del radio de la esfera "i" a partir del radio de la primera:

$r_i=\dfrac{r_1}{1- (i-1) \cdot \Delta V \cdot r_1} \qquad i=2, \ 3, \ 4, \ \dots$

[Richard R Richard]

Solo un comentario para Marcos respecto de mi fórmula , como puse el cero de potencial en la carga , una diferencia de potencial nula respecto a la carga solo se tendrá en el infinito.
Si con mi formula se toman una diferencia de potencial A en un radio r_a y en otro con diferencia de potencial B, entonces la diferencia de potencial entre A y B responde por supuesto también a la formula dada por Alriga, ya que el resultado es independiente de donde se tome el cero.

[Marcos Castillo]

Quiero estudiar vuestras respuestas. ¡Un saludo!

[Marcos Castillo]

Complemento las explicaciones de JCB y Richard:


Solo si has dibujado las superficies equipotenciales con el criterio de mantener la misma diferencia de potencial entre 2 superficies consecutivas, $\boldsymbol{\Delta V = cte}$ , la separación entre ellas es inversamente proporcional a la intensidad del campo eléctrico:

$E=\dfrac{\Delta V}{\Delta r}$

El espaciado no homogéneo entre las superficies equipotenciales de la figura refleja el carácter no uniforme del campo generado por esta carga puntual: las superficies equipotenciales tienen una separación menor allí donde el campo es más intenso; es decir, cerca de la carga.

$V_2-V_1=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$

Esta fórmula tiene verdadero sentido para mí. En física lo que importa es la comparación, la diferencia entre magnitudes. Además por fin me ha servido para algo. Hasta ahora me he empapuzado de fórmulas descontextualizadas, y, como habréis comprobado, de imágenes como acto de fe. Das ist nicht nur nicht richtig, es ist einmal falsch.

Para una carga $Q$, podemos enriquecer la fórmula, para hallar esferas equipotenciales;

$\Delta{V}=\mbox{cte}=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$: detrás del escalar $r$ hay un mundo en tres dimensiones.

Impresiona.

Richard R Richard, entiendo tu fórmula como una aportación a la fórmula $V_2-V_1=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$, entendida como una función de una variable. Establecer el cero de potencial, $V_1=0$ requiere tomar límites: $\displaystyle\lim_{r_1 \to{+}\infty}{\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_1}\right)}$. Pero ésto de tomar límites lo veo muy formal. La elección del cero de potencial es arbitrario. Es perfectamente razonable no hacerlo, y el sistema sigue respetando las leyes de la física: podemos establecer el cero de potencial no en el infinito, sino a una distancia discreta de la carga en la que el campo deja de ejercer fuerza.

¡Muchas gracias, un saludo!

[Richard R Richard]

Para una carga $Q$, podemos enriquecer la fórmula, para hallar esferas equipotenciales;

$\Delta{V}=\mbox{cte}=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$: detrás del escalar $r$ hay un mundo en tres dimensiones.

Impresiona.

Richard R Richard, entiendo tu fórmula como una aportación a la fórmula $V_2-V_1=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$, entendida como una función de una variable. Establecer el cero de potencial, $V_1=0$ requiere tomar límites: $\displaystyle\lim_{r_1 \to{+}\infty}{\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_1}\right)}$. Pero ésto de tomar límites lo veo muy formal. La elección del cero de potencial es arbitrario. Es perfectamente razonable no hacerlo, y el sistema sigue respetando las leyes de la física: podemos establecer el cero de potencial no en el infinito,....

Hasta allí todo correcto, pero completaría diciendo en la frase que con que se puede elegir una distancia radial arbitraria para poner un valor de potencial cero y que para cargas positivas el potencial aumenta al acercarse a la carga y decrece al alejarse y lo inverso sucede con cargas negativas.

sino a una distancia discreta de la carga en la que el campo deja de ejercer fuerza.

Esto es incorrecto el campo que crea la carga deja de ejercer fuerza solo a distancia infinita únicamente, lo que creo quieres decir es que si se toma como potencial cero a un punto ubicado a una distancia $r_1$ cualquier otro punto que verifica tener potencial cero es aquel en el cual $r_2 =r_1$ es decir cualquier otro punto de la superficie de la esfera.


$V_2-V_1=-<br /> \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$


si $0=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}-\dfrac{1}{r_1}\right)$

luego $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r_1$

osea los puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación de potencial nulo se hallan en la esfera de radio $r_2 =r_1$ cuando la distancia $r_1$ se escoje para tomar como potencial de referencia.

Pero la fuerza

$\vec F=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{(x-x_0,,y-y_0,z-z_0)}{(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2})^3}$

solo tiene módulo nulo cuando o bien x,y o z tienden a infinito.

[Alriga]

$V_2-V_1=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$

Cuidado: en este ejemplo de una carga única positiva creando campo eléctrico, esta expresión con el criterio habitual de signos no es correcta, cuando JCB la ha escrito él quería hacer énfasis en el valor absoluto de la diferencia de potencial, entiendo que lo que quería escribir es:

$\big | V_2-V_1 \big |=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$

Ya que si partimos de las expresiones correctas (con el convenio de signos habitual de que las líneas de campo eléctrico parten de las cargas positivas y confluyen en las cargas negativas):

$V_1=-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r_1}$

$V_2=-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r_2}$

Restando obtenemos:

$$V_2-V_1=-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$$

Que es la expresión correcta.

... Establecer el cero de potencial, $V_1=0$ requiere tomar límites: $\displaystyle\lim_{r_1 \to{+}\infty}{\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_1}\right)}$ ...

Si defines el potencial creado por la carga de nuestro ejemplo como

$V=-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}$

Significa que el potencial no será cero en ningun punto del espacio y que:

$V \rightarrow 0$ si y solo si $r \rightarrow \infty$

O como bien lo dices tú:

$\dst \lim_{r \to \infty} V(r)=\lim_{r \to \infty}-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}=0$

... La elección del cero de potencial es arbitrario ...

Correcto.

... podemos establecer el cero de potencial no en el infinito, sino a una distancia discreta de la carga en la que el campo deja de ejercer fuerza ...

No, no puede establecerse así de ninguna manera, ya que en todo el espacio no existe ningun punto a una distancia discreta de la carga en la que el campo deja de ejercer fuerza. Si "q" es la carga de prueba, el módulo de la fuerza es:

$F(r)=q \ E(r)=\dfrac{q \ Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

No existe ningún valor discreto de "r" que haga que F=0

$F \rightarrow 0$ si y solo si $r \rightarrow \infty$

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Edito Alriga: cometí un error de signo al resolver la integral.

Considerando que $r_1>r_2$,

$V_2-V_1=-\dst\int_{r_1}^{r_2}\vec{E}\vec{dr}=-\dst\int_{r_1}^{r_2}Edr\cos\ 180^{\circ}=\dst\int_{r_1}^{r_2}\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}dr$,

$V_2-V_1=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right)$.

En particular, y utilizando la convención $V_1=0$ para $r_1=\infty$,

$V_2=-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r_2}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

De todas maneras, no me acaba de cuadrar que el trabajo por unidad de carga eléctrica para traer la carga de prueba (positiva) desde el infinito hasta una distancia r2 de Q (positiva), sea negativo. Sinceramente, no lo acabo de entender.

[Alriga]

Debido a la simetría radial, podemos estudiarlo en 1 dimensión, por ejemplo en el eje x. Si intentas acercar la carga de prueba "+q" a la que genera el campo "+Q" que suponemos en el origen de coordenadas, el dx es negativo. Pero como las dos cargas son positivas se repelen, por lo tanto la fuerza aplicada en "+q" es positiva, (la fuerza va en sentido contrario al desplazamiento)

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

De acuerdo Alriga, esta explicación sobre $dr$ también la he leído en “Electromagnetismo Aplicado”, de Martin Plonus. Pero entonces, la consecuencia es que el potencial (trabajo por unidad de carga eléctrica), tendría el signo positivo (tal y como a mí me parecía coherente).

De igual manera, pero sin repetir el desarrollo, se llegaría a que

$V_2-V_1=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$ (la misma expresión que la de mi mensaje # 2), y también a que

$V_2=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r_2}$.

¿ Es esto correcto ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Marcos Castillo]

Alriga, Richard R Richard, JCB, sí, la fuerza eléctrica es cero en el infinito. No puede ser matemáticamente de otra manera
¡Un saludo!

[JCB]

Si, claro, la fuerza de interacción entre dos cargas es 0, cuando la distancia que las separa es infinita.