Otras carreras Electrostática. Esfera conductora y esfera dieléctrica

[Visitante]

Hola buenas, adjunto el siguiente problema junto con una imagen.

Un conductor esférico (macizo) de radio a se encuentra fijo y conectado a una fuente de potencial constante V₀. A una cierta distancia de dicho conductor se encuentra una esfera dieléctrica (también maciza) de radio b y permitividad igual a la del vacío, aislada y con una carga Q uniformemente distribuida. La distancia entre los centros de ambas esferas es d₀.

a) Calcule la carga de la esfera conductora y el potencial en el centro de la esfera dieléctrica. Exprese el resultado en términos de V₀, a, b, Q y d₀.

b) Se pone en movimiento la esfera dieléctrica alejándose de la conductora. Calcule la fuerza eléctrica que actúa entre las dos esferas y el trabajo realizado por dicha fuerza en función de la distancia entre las esferas.

c) Calcule la carga final de la esfera conductora y el incremento de energía del sistema debido al desplazamiento cuando la esfera dieléctrica se ha alejado una distancia muy grande.


Bien, por simplificarlo he supuesto que la carga en el conductor se mantiene uniformemente distribuída en su superficie. Además de eso, sé que Vo tiene que ser el potencial total en cualquier punto de la esfera conductora (ya que todos los puntos de un conductor son equipotenciales). Es decir, por el principio de superposición Vo = V1 + V2 , donde V1 es el potencial que genera la esfera conductora y V2 el que genera la esfera dieléctrica. Y de esa ecuación es de donde puedo sacar la carga buscada. Pero más allá de eso tampoco sé muy bien cómo proceder, no soy capaz de obtener la carga del apartado a y por consiguiente ninguno de los demás apartados. ¿Alguien tiene alguna idea o guía?

Muchas gracias de antemano. Un saludo.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para una esfera conductora maciza y conectada a una fuente de tensión $V$, se cumple en el equilibrio, que el potencial en toda la esfera es constante e igual a $V=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0R}$. Luego, en el caso que nos ocupa y aunque esté en presencia de otra esfera dieléctrica, entiendo que la carga de la esfera conductora sigue siendo

$Q=4\pi\epsilon_0aV_0$.

Seguiré pensando en las otras cuestiones.

Saludos cordiales,
JCB.

[Visitante]

Vale, entiendo que la esfera conductora está conectada a una fuente de potencial que la mantiene siempre a un potencial fijo V0; por lo tanto si solo existiese la conductora el resultado debe ser el que tu dices porque solo depende de V0. Pero al existir cerca otra carga, que genera campo y por tanto contribuye al potencial, entonces V0 ya no puede estar exclusivamente generado por la carga de la esfera conductora, así que esto modifica también la carga no? Es decir, la esfera conductora está conectada por un cable a la fuente de potencial V0 por lo que puede suministrarle o robarle carga para mantenerse a V0. Entonces, en el apartado a del problema la carga no debería depender de d0? No depende de la distancia a la que se encuentre la esfera dieléctrica?

Así lo entiendo yo aunque es probable que me equivoque, la verdad es que este problema me está trayendo serios quebraderos de cabeza. Agradezco cualquier tipo de aportación y ayuda, y sobre todo, si estoy completamente errada háganmelo saber. Gracias de antemano.

Un saludo cordial.

[Visitante]

Hola de nuevo.
Sigo pensando en la resolución de este problema, voy a intentar calcular el potencial que genera la esfera conductora y a ello sumarle el potencial que genera la dieléctrica (V0=V1(conductora)+V2(dielécrica)), pero cuando me estaba disponiendo a ello me ha surgido una duda más. Todos coincidimos que la carga en un conductor se distribuye uniformemente por su superficie, entonces la carga sin la presencia del dialéctico sería Q=4piE0a. Ahora bien, a la hora de calcular los potenciales mi lógica me dice que debo hacerlo en los puntos de la superficie pero sin embargo en el problema me dan la distancia d0 de centro a centro (esto pensando ahora en el potencial creado por la esfera dieléctrica). ¿Qué opinan ustedes?

En cuanto lo consiga resolver (si es que lo consigo) subiré la resolución.

Un cordial saludo.

[JCB]

Hola a tod@s.

Aunque he recapitulado sobre este ejercicio, no tengo la seguridad absoluta. En primer lugar, debo hacer unas consideraciones para aclararme las ideas.

1) Potencial eléctrico creado por una carga $Q$ distribuida superficialmente en una esfera conductora.

- para $r\leq R$, $V=\dfrac{kQ}{R}=cte.$, es decir, es el mismo, tanto en el centro, como en el interior, como en la superficie de la esfera.

- para $r>R$, $V=\dfrac{kQ}{r}$.

2) Potencial eléctrico creado por una carga $Q$ distribuida volumétricamente en una esfera dieléctrica.

- para $r\leq R$, $V=\dfrac{kQ(3R^2-r^2)}{2R^3}$. Con densidad constante.

- para $r>R$, $V=\dfrac{kQ}{r}$.

a1) Carga de la esfera conductora. El potencial eléctrico en la esfera conductora, es el creado por la carga superficial $Q_c$ desconocida, más el potencial creado por la carga $Q_d$ de la esfera dieléctrica (utilizo subíndices para evitar confusiones). Aunque el potencial eléctrico de la esfera conductora es constante, lo considero en el centro de la esfera

$V_0=V_c\ (r=0)=\dfrac{kQ_c}{a}+\dfrac{kQ_d}{d_0}$. Despejando a $Q_c$,

$Q_c=a\left(\dfrac{V_0}{k}-\dfrac{Q_d}{d_0}\right)$.

a2) Potencial en el centro de la esfera dieléctrica. De forma parecida, el potencial en el centro de la esfera dieléctrica es

$V_d\ (r=0)=\dfrac{kQ_c}{d_0}+\dfrac{kQ_d(3b^2-0)}{2b^3}=\dfrac{kQ_c}{d_0}+\dfrac{3}{2}\dfrac{kQ_d}{b}$. Substituyendo a $Q_c$, hallada en a1),

$V_d\ (r=0)=\dfrac{aV_0}{d_0}+kQ_d\left(\dfrac{3}{2b}-\dfrac{a}{d_0^2}\right)$.

Seguiré pensando en los demás apartados.

Saludos cordiales,
JCB.

[Visitante]

Hola de nuevo,

después de mucho pensar he llegado a una solución, he tomado un camino muy similar al tuyo para resolverlo.

Para el apartado a primero he calculado el campo eléctrico creado por la esfera conductora tanto en el interior como en el exterior, esto para después calcular los potenciales interior y exterior. De la expresión del potencial justo en la superficie de la esfera es de donde sacaré después la carga de esta esfera. Esto no lo desarrollo porque creo que a estas alturas el problema que nos concierne no es calcular el campo y el potencial de una esfera cargada, además veo que el compañero JCB ha expresado estos resultados en el post anterior.
Vamos ahora con la esfera dieléctrica, que es donde creo que reside la complejidad del problema. Nos dan como dato que esta esfera tiene una carga Q, para resolver el campo voy a emplear la ley de Gauss, es decir

La integral de superficie del campo es igual a carga encerrada/ E (constante)

Ahora bien la carga en una esfera dieléctrica no se concentra en su superficie, está repartida por todo el volumen, por lo tanto la carga encerrada va a depender del radio que estemos tomando. Obtenemos que la carga encerrada es:

Qe=p(densidad volúmica de carga)xV(volumen)/E(cte)

de aquí despejando la densidad obtenemos

p=Q/((4/3)pib³)
b es el radio de la esfera dieléctrica

de este modo la carga encerrada es
Qe=Qr³/b3

Entonces haciendo los cálculos para obtener el campo eléctrico y posteriormente el potencial obtenemos exactamente las mismas ecuaciones que ha dejado nuevamente el compañero en el post anterior (muchas gracias).

Haciendo los cálculos oportunos (no tienen mayor complejidad, integrar, sustituir, etc..) obtenemos las respuestas al primer apartado

El voltaje en el centro de la esfera dieléctrica es:
V=Q/(8piEb)

La carga encerrada por la esfera conductora q=(Vo-Q/(4*pi*E*do))*4*pi*E*a
(a: radio de la esfera conductora)

Una vez hecho esto los siguientes apartados son muy sencillos.

Apartado b)

Para calcular la fuerza se aplica la ley de Coulomb, yo para mantener los resultados en función de V₀, a, b, Q y d₀ he sustituido la carga de la conductora por la expresión del apartado anterior, el resultado me queda como:

F=V₀*Q*a/d₀² - a*Q²*k/d₀³
El trabajo se obtiene integrando la expresión anterior con límites de integración inferior=d₀ y superior d₀+r.


El apartado c es el más sencillo de todos, para el valor de la carga cuando la esfera dieléctrica está en el infinito podemos considerar que no le afecta o tomar d₀=infinito, llegaríamos al mismo resultado:

q=V₀*4*pi*E*a

Para la variación de la energía valoramos la variación del trabajo entre d₀ y el infinito y con un simple cálculo a partir del trabajo calculado en el apartado b obtendríamos el resultado.

Antes de nada perdonen la escritura, aún me estoy acostumbrando al editor de texto del foro y valoraré emplear otro programa para escribir las ecuaciones. Espero que se entienda y gracias a todos los que han intentado conmigo resolver el ejercicio.

Un saludo cordial.

[JCB]

Hola a tod@s.

No he seguido con el apartado b), porque no tengo la certeza de que la fuerza entre las esferas, se determine simplemente con la aplicación de Coulomb, de forma similar a como se hace para cargas puntuales. Es decir, ¿ el fenómeno de influencia en la esfera conductora no lo tenemos en cuenta ?.

Deberías utilizar el editor LaTeX para las ecuaciones, que es de obligado cumplimiento en este foro.

Te indico unos enlaces muy útiles:

https://forum.lawebdefisica.com/foru...n-los-mensajes

https://forum.lawebdefisica.com/foru...de-f%C3%ADsica

https://forum.lawebdefisica.com/foru...forma-efectiva

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

b) Fuerza y trabajo eléctrico para desplazar a la esfera dieléctrica. Suponiendo que sea de aplicación la ley de Coulomb, llego a

$F=a\left(\dfrac{V_0Q_d}{d^2}-\dfrac{kQ_d^2}{d^3}\right)$.

Para el trabajo, con el fin de simplificar a la expresión final, integro entre $d_0$ y $d_f$,

$W=aV_0Q_d\left(\dfrac{1}{d_0}-\dfrac{1}{d_f}\right)-\dfrac{akQ_d^2}{2}\left(\dfrac{1}{d_0^2}-\dfrac{1}{d_f^2}\right)$.

c1) Carga final de la esfera conductora, con la esfera dieléctrica muy alejada. En este caso si la esfera conductora se encuentra completamente sola,

$Q_c=\dfrac{aV_0}{k}$. Es la expresión que puse en mi mensaje # 2 como respuesta equivocada a a1).

c2) Incremento de energía del sistema con la esfera dieléctrica muy alejada. En estudio.

Volviendo al apartado a2), para el potencial eléctrico en el centro de la esfera dieléctrica, he tenido en cuenta a la esfera conductora, en cambio, laranga22, no veo que tú lo hayas hecho.

Saludos cordiales,
JCB.

[Visitante]

Hola de nuevo,

No me había dado cuenta a lo que dices del apartado a2, muchas gracias.
En otro orden de cosas me pondré a ello con el editor LaTeX, gracias.

Un saludo

[JCB]

Hola a tod@s.

c2) Incremento de energía del sistema con la esfera dieléctrica muy alejada.

La energía electrostática inicial es $U_{E0}=\dfrac{1}{2}(Q_cV_0+Q_dV_d)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{aV_0^2}{k}+kQ_d^2\left(\dfrac{3}{2b}-\dfrac{a}{d_0^2}\right)\right)$. Nota: $Q_c$ y $V_d$ son los iniciales.

Cuando la esfera dieléctrica está muy alejada de la esfera conductora, tanto la carga de la conductora como el potencial de la dieléctrica (a éste último, lo sigo considerando en el centro), son independientes, es decir, se calcula cada uno sin la presencia de la otra esfera. La energía electrostática final es

$U_{Ef}=\dfrac{1}{2}(Q_cV_0+Q_dV_d)=\dfrac{1}{2}\dfrac{aV_0^2}{k}+\dfrac{3}{4}\dfrac{kQ_d^2}{b}$. Nota: $Q_c$ y $V_d$ son los finales.

La diferencia de energía electrostática es

$\Delta U_E=U_{Ef}-U_{E0}=\dfrac{akQ_d^2}{2d_0^2}$.

Saludos cordiales,
JCB.