Campo eléctrico cilindro cargado

[Richard R Richard]

Hola a todos

El campo en el eje Y es es el creado por la tapaen forma de disco , según lo que he leido ese campo se calcula

$<br /> E_{(y)}=\dfrac{y\, \sigma}{2\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{\sqrt{r^2+y^2}}\right)$

Si el radio r de la jabalina tiende a infinito recuperamos el campo de un plano cargado

Bien la relación entre la densidad lineal y la superficial surge de un sistema de 2x2

Por un lado la carga total es la suma e las cargas de cada superficie.

Y por otro igualando potenciales de ambos campos respecto de infinito.

[Sdk]

Estimados/as

Sitúo el “cilindro” (venido a menos) en el eje , con el eje haciendo de mediatriz. Para facilitar los cálculos y la expresión final, considero que la longitud es , en lugar de . Luego, para puntos situados sobre el eje , a del origen, obtengo

.

- En la misma disposición que la anterior, pero para puntos situados sobre el eje , a del origen, obtengo

.

No comprendo como llegas a esas expresiones. Perdón por ser tan insistente pero quiero comprenderlo.
¿Esas expresiones de campo corresponden a las partes superiores e inferiores del cilindro? Debido a que si el radio del mismo es mucho menor que la longitud entonces:

$E = \frac{Q}{2 \pi r l}$

Y si la mediatriz se situa en el eje Y entonces:

$E = \frac{Q}{2 \pi r l} \hat{x}$

El campo en el eje Y es es el creado por la tapaen forma de disco , según lo que he leido ese campo se calcula



Si el radio r de la jabalina tiende a infinito recuperamos el campo de un plano cargado

Bien la relación entre la densidad lineal y la superficial surge de un sistema de 2x2

Por un lado la carga total es la suma e las cargas de cada superficie.

Y por otro igualando potenciales de ambos campos respecto de infinito.

Es decir, ¿el campo en el espacio será las caras del cilindro más las tapas?

$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon \pi r } \hat{x}$ Que corresponde a los laterales del cilindro (según el modelo de cilindro infinito cargado de radio nulo)

$E = \frac{y \sigma}{2 \varepsilon} (\frac{1}{y} - \frac{1}{{r}^{2}+{y}^{2}}) \hat{y}$ que corresponde a las tapas superiores e inferiores

$\vec{E} =\frac{\sigma}{2 \varepsilon \pi r } \hat{x} +\frac{y \sigma}{2 \varepsilon} (\frac{1}{y} - \frac{1}{{r}^{2}+{y}^{2}}) \hat{y}$

[Richard R Richard]

Estimados/as



No comprendo como llegas a esas expresiones. Perdón por ser tan insistente pero quiero comprenderlo.
¿Esas expresiones de campo corresponden a las partes superiores e inferiores del cilindro? Debido a que si el radio del mismo es mucho menor que la longitud entonces:

$E = \frac{Q}{2 \pi r l}$

Y si la mediatriz se situa en el eje Y entonces:

$E = \frac{Q}{2 \pi r l} \hat{x}$




Es decir, ¿el campo en el espacio será las caras del cilindro más las tapas?

El campo en el espacio puedes calcularlo como la suma vectorial de las contribuciones de la superficie cilindrica mas la de las tapas planas.

la formula que proporciona JCB te permite aproximar el valor del campo teniendo en cuanta el efecto de borde, porque el cilindro no es infinito. En todo caso cuando la longitud tienda a infinito debes recuperar la formula

$E = \frac{Q}{2 \pi r l} \hat{x}$

revisare lo posteado , para ver si le hallo defecto de tenerlo, al momento de hacer mi post anterior me pareció que no lo tenía.

$E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon \pi r } \hat{x}$ Que corresponde a los laterales del cilindro (según el modelo de cilindro infinito cargado de radio nulo)

si pero si tienes una mejor forma de acotar el error teniendo en cuenta las dimensiones de la jabalina como te han propuesto tanto mejor. Recuerda que la densidad lineal de carga es $\lambda$no $\sigma$

$E = \frac{y \sigma}{2 \varepsilon} (\frac{1}{y} - \frac{1}{{r}^{2}+{y}^{2}}) \hat{y}$ que corresponde a las tapas superiores e inferiores

$\vec{E} =\frac{\sigma}{2 \varepsilon \pi r } \hat{x} +\frac{y \sigma}{2 \varepsilon} (\frac{1}{y} - \frac{1}{{r}^{2}+{y}^{2}}) \hat{y}$

Bueno como te dije si puedes mejorar la precisión teniendo en cuenta la longitud finita , te será mejor.

Reviso números y regreso.


edito

el campo en x


$E=\dst\int_{-L}^LK \dfrac{x}{\sqrt{x^2+l^2}^3}dl=K\dfrac{2L}{x\sqrt{x^2+L^2}}$

cuando $L \to\infty \quad\to\quad \dfrac{L}{\sqrt{x^2+L^2}}\to 1$ recuperando haciendo $x=r$

$E=K\dfrac{2}{x}=K_2\dfrac{\lambda}{ r }$

[JCB]

Hola a tod@s.

Voy a intentar explicarme mejor. Considero a un “cilindro” con una longitud mucho mayor que su radio. En estas condiciones asimilo el cilindro (o lo que queda de él, pobre) a una línea cargada con una densidad de carga lineal $\lambda=\dfrac{Q}{2l}$.

He colocado el “cilindro” en posición horizontal sobre el eje $X$. El eje $Y$, como ya he dicho, es la mediatriz del “cilindro” de longitud $2l$. En estas condiciones, he calculado el campo en un punto del eje $X$, a una distancia $a$ (punto $P$), a partir de

$dE_x=\dfrac{kdq}{(a-x)^2}=\dfrac{k\lambda dx}{(a-x)^2}$. Se llega a $E_x=\dfrac{kQ}{a^2-l^2}$. Atención: solo válida para puntos pertenecientes al eje $X$.

Para el eje $Y$, hago lo propio para otro punto $(P’)$, a una distancia $b$, a partir de

$dE_y=\dfrac{kdq}{r^2}\cos\theta=\dfrac{kb\lambda dx}{r^3}$. Se llega a $E_y=\dfrac{kQ}{b\sqrt{b^2+l^2}}$. Atención: solo válida para puntos pertenecientes al eje $Y$.

Para una distribución de carga lineal, como la que he considerado, seguro que en algún libro encontrarás expresiones más completas que abarquen regiones más amplias. Lo que ya no estoy tan seguro es que encuentres alguna expresión general del campo para un cilindro de longitud finita.

Saludos cordiales,
JCB.