Campo eléctrico entre cilindros.

[JCB]

Hola a tod@s.

Navegando por internet, he encontrado este interesante ejercicio, cuyo enunciado es el siguiente:

La figura muestra la sección de dos cilindros largos de radio $R$, con los ejes paralelos. Dentro del volumen de uno de ellos se distribuye carga con una densidad $\rho=\alpha r\ (C/m^3)$, donde $\alpha$ es una constante positiva y $r$ es la distancia medida desde el eje. Encuentre con qué densidad $\sigma$ debe cargarse uniformemente la superficie del otro cilindro, para que el campo eléctrico sea nulo en el punto $P$, equidistante de sus ejes.

De aquí a un tiempo, publicaré la solución, si no lo hace alguien antes.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Tip: Las cargas por unidad de longitud deben ser de igual magnitud...

[JCB]

Hola a tod@s. Esto se pone interesante, Al2000. Si te digo la verdad, entiendo lo que has escrito, pero como una afirmación que puedo comprobar después de haber resuelto el ejercicio. No lo había razonado a priori para encontrar la solución. Gracias y saludos cordiales.

[JCB]

Hola a tod@s.

1) El planteamiento inicial ha sido hallar la carga del cilindro dieléctrico, para después aplicar Gauss a cada cilindro, e igualar los campos, para que se anulen en $P$.

En el cilindro dieléctrico, considero una corona cilíndrica elemental de radio $r$ y espesor $dr$. El volumen de ésta es $dV=2\pi rdrL$. Integrando, obtengo la carga total $Q_1=\dst\int_{0}^{R}\alpha r2\pi rdrL=\dfrac{2}{3}\alpha \pi R^3L$.

Aplicando Gauss al cilindro dieléctrico,

$\dst\oint_{S}\vec{E_1}\vec{dS}=\dfrac{Q_1}{\epsilon_0}$,

$E_12\pi 2RL=\dfrac{\dfrac{2}{3}\alpha\pi R^3L}{\epsilon_0}$,

$E_1=\dfrac{\alpha R^2}{6\epsilon_0}$.

Aplicando Gauss al cilindro conductor,

$\dst\oint_{S}\vec{E_2}\vec{dS}=\dfrac{Q_2}{\epsilon_0}$,

$E_22\pi 2RL=\dfrac{\sigma 2\pi RL}{\epsilon_0}$,

$E_2=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$.

Igualando $E_2$ con $E_1$,

$\sigma=\dfrac{1}{3}\alpha R^2$.

2) El planteamiento alternativo es seguir lo escrito por Al2000. Y efectivamente, se llega al mismo resultado:

Utilizando la carga del cilindro dieléctrico calculada en el apartado 1), esta carga por unidad de longitud será

$\dfrac{Q_1}{L}=\dfrac{2}{3}\alpha \pi R^3$.

La carga por unidad de longitud del cilindro conductor es $\dfrac{Q_2}{L}=\sigma 2\pi R$. Igualando ambas,

$\sigma=\dfrac{1}{3}\alpha R^2$.

Aunque, permíteme una pregunta, Al2000, sin conocer previamente las expresiones de los campos eléctricos, ¿cómo puedo afirmar a priori que la carga por unidad de longitud, deba ser la misma ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

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Aunque, permíteme una pregunta, Al2000, sin conocer previamente las expresiones de los campos eléctricos, ¿cómo puedo afirmar a priori que la carga por unidad de longitud, deba ser la misma ?.
...

No puedes. Simplemente me basé en que cualquier distribución de carga con simetría cilíndrica se comporta en puntos exteriores igual que un filamento. Una afirmación similar puede hacerse para distribuciones de carga son simetría esférica.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

EDITO: Releyendo tu mensaje previo caigo en cuenta que obtuviste el resultado correcto por pura coincidencia (lo que expresé arriba). La falla en lo que hiciste es que estás igualando en campo en la superficie del cilindro con el campo en la superficie de la cáscara cilíndrica, lo cual no tiene razón de ser a menos que te apoyes (again) en lo que expresé sobre la simetría.

Para hacer el problema sin usar el atajo de la simetría, deberías calcular el campo del cilindro y del cascarón a la distancia $r = 2 R$, con lo cual por supuesto vas a llegar a la misma respuesta.

[JCB]

Gracias por avisar del error, Al2000. Lamentablemente, no he podido encontrar el borrador que hice hace unos días y he escrito directamente el mensaje. Aunque tampoco puedo asegurar que el borrador estuviera correcto, no se trata de un error de concepto, afortunadamente.