Otras carreras Inducción

[Visitante]

Hola de nuevo,

Llevo unos días intentando resolver este ejercicio y necesito algo de ayuda porque no consigo entenderlo muy bien, mañana intentaré postear mis avances porque me estoy reestudiando el tema para intentar entenderlo mejor. Si alguien tiene alguna aportación lo agradeceré infinitamente. Copio a continuación el enunciado y subo un esquema del ejercicio .

Un cordial saludo.

La espira rectangular de dimensiones a x b y resistencia R que se ilustra en la figura rota alrededor del eje z (dicho eje la atraviesa por su mitad) con una velocidad angular $\omega$:

$(\alpha= \omega t + \sigma)$ ,

donde t es el tiempo, de forma que en el instante inicial t=0 forma un ángulo $\sigma$ con el eje x. Se establece un campo de inducción magnética en la dirección del eje x que varía armónicamente con la misma frecuencia que la de rotación de la espira, de la forma:

$\vec B = B_0 cos\ (\omega t + \theta ) \hat x$

donde $\sigma$ es una constante.



a) Calcúlese la fuerza electromotriz inducida en la espira

b) ¿Es posible elegir $\sigma$ y $\theta$ de forma que la fuerza electromotriz inducida sea nula en todo momento? Razónese la respuesta y calcúlese el valor de dichos parámetros en caso afirmativo.

c) Calcúlse el torque que es necesario aplicar sobre la espira en cada instante t para mantenerla en rotación con la velocidad angular dada.

d) Calcúlese el trabajo realizado sobre la espira en cada revolución.

e) ¿Qué energía se disipa en la espira por efecto Joule en cada vuelta?

[Al2000]

Tomando que el vector área de la espira apunte hacia el lado donde está el eje X y conociendo que el campo magnético es uniforme, el flujo magnético será

$$\Phi_B = B A \cos \left (\frac \pi 2 - \alpha \right ) = B_0 a b \, \mathrm {sen} \, (\omega t + \sigma) \cos (\omega t + \theta ) = \frac 1 2 B_0 a b \left[\, \mathrm {sen} \, (\sigma - \theta )+ \, \mathrm {sen} \, (2 \omega t + \sigma + \theta )\right]$$

Deriva para obtener la fuerza electromotriz y determina la corriente. El momento magnético de la espira es $\vec \mu = i \vec A$ y el torque es $\vec \tau = \vec \mu \times \vec B$.

Espero puedas seguir con esos tips...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Visitante]

Hola de nuevo,

he estado haciendo el ejercicio por mi cuenta y acabo de ver tu post. Me podrías explicar cómo llegas a ese flujo? Es que no entiendo el segundo paso cuando pasas de tener el $\cos(\pi/2-\alpha)$ a tenerlo en función del seno. Creo que es porque lo transformas directamente a función seno restándole la diferencia de $\pi/2$ pero en ese caso no se porque te queda la igualdad $\alpha$ en positivo. Siguiendo ese razonamiento a mi me queda negativo. Me lo podrías explicar?

Aún no me he puesto con los apartados c, d y e pero cómo sabes cuales son el torque y momento magnético de una espira? Se puede decir directamente o hay alguna forma sencilla de deducirlos? Es que no lo he visto en mis apuntes ni en los libros que suelo consultar y me gustaría tener una comprensión completa del ejercicio.

Muchísimas gracias por la aportación, en cuanto termine todos los apartados subiré los resultados y razonamientos que he seguido por si hubiese algo erróneo.

Un cordial saludo y mucho ánimo.

[Al2000]

- Dibuja un triángulo rectángulo y llama $\alpha$ uno de sus ángulos agudos; el otro ángulo agudo será $\frac \pi 2 - \alpha$.
- Determina el valor de $\cos (\frac \pi 2 - \alpha)$ y comprueba que es igual que $\mathrm {sen} \, \alpha$.

Si tienes más dudas no temas preguntar.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

AÑADO: El momento magnético de una bobina plana de $N$ vueltas se define como $\vec \mu = N i \vec A$. El torque magnético sobre una bobina se puede deducir de forma mas o menos simple para algunas configuraciones partiendo de la fuerza magnética sobre una corriente. La deducción la consigues en cualquier libro de Física a nivel universitario.

[Visitante]

Entendido, lo del ángulo un despiste muchas gracias ya me he dado cuenta. Me voy a poner a terminarlo a lo largo de esta tarde, cualquier duda me paso por aquí y eventualmente subiré mi solución.

Un saludo.

[Visitante]

Algunos problemillas con el ejercicio en cuestión:

Hola otra vez, he estado liada este fin de semana y hoy me he vuelto a poner con este ejercicio, me he encontrado con algunos problemas.

1. Apartado b, este es otro problema de cálculo. Antes de nada comparto mi solución al apartado a):

$\xi=-B_oab\omega\cos(2\omega t + \theta + \sigma)$

Entiendo que para que la fuerza electromotriz sea nulo, el valor del coseno debe ser 0. Sin embargo soy incapaz de calcularlo y lo he mirado en wolfram alpha pero francamente no lo entiendo.
(Doy por supuesto que la dirección de la f.e.m. sigue siendo la del eje $\hat x$)

2. Apartado c, para sacar la intensidad lo he hecho a través de la ley de Ohm porque es la única forma en la que se me ocurría a pesar de que en el enunciado no se menciona en ningún momento la existencia de una resistencia supongo que debo suponer que existe una en la espira no? En cuanto al momento de la espira para obtener el vector área se pasa a coordenadas cilíndricas? lo pregunto porque al ir rotando me hace dudar. La verdad es que siempre me cuesta mucho ver la dirección de este tipo de vectores.

3. Apartado e, necesito un pequeño refresco de memoria. En este caso para calcular la energía disipada por efecto Joule podría hacerlo directamente con la expresión de potencia no? Por ejemplo con: $P=I^2*\xi$

Muchas gracias de antemano, la verdad es que tiene su cosilla el ejercicio, a ver si con unos consejitos más consigo resolverlo. Muchas gracias

Un saludo.

[Al2000]

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1. Apartado b, este es otro problema de cálculo. Antes de nada comparto mi solución al apartado a):

$\xi=-B_oab\omega\cos(2\omega t + \theta + \sigma)$

Entiendo que para que la fuerza electromotriz sea nulo, el valor del coseno debe ser 0. Sin embargo soy incapaz de calcularlo y lo he mirado en wolfram alpha pero francamente no lo entiendo.
(Doy por supuesto que la dirección de la f.e.m. sigue siendo la del eje $\hat x$)
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La fem inducida no puede ser nula en todo instante simplemente variando la fase inicial del argumento del coseno.

La fem inducida no es un vector. No puedes decir que apunta según el eje X. La fem inducida tendrá sentido alternante alrededor de la espira.

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2. Apartado c, para sacar la intensidad lo he hecho a través de la ley de Ohm porque es la única forma en la que se me ocurría a pesar de que en el enunciado no se menciona en ningún momento la existencia de una resistencia supongo que debo suponer que existe una en la espira no? En cuanto al momento de la espira para obtener el vector área se pasa a coordenadas cilíndricas? lo pregunto porque al ir rotando me hace dudar. La verdad es que siempre me cuesta mucho ver la dirección de este tipo de vectores.
...

Juraría que en el enunciado indica que el valor de la resistencia de la espira es R.

No es un ejercicio de matemática, no veo ninguna razón para escribir el vector área en ningún sistema de coordenadas particular. Sería suficiente escribir que el vector área es perpendicular al plano de la espira en todo instante. De todas formas, y si quieres ir un poco más allá en el formalismo matemático, siempre puedes expresar el vector unitario normal al plano de la espira en función se los versores $\hat x$ y $\hat y$ (ejercicio completamente inútil pues al calcular el torque te resultará en la dirección del eje Z).

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3. Apartado e, necesito un pequeño refresco de memoria. En este caso para calcular la energía disipada por efecto Joule podría hacerlo directamente con la expresión de potencia no? Por ejemplo con: $P=I^2*\xi$
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Eso que escribiste no es correcto. La potencia disipada sería $P = I^2 R = \xi ^2/R$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Visitante]

Lo he puesto en un comentario y no sé si es visible, por si las moscas lo vuelvo a postear:
Entonces el apartado b cómo lo justificarías? Es que por el enunciado me hace pensar que hay unos valores para los cuales siempre es cero sin embargo al ir rotando tampoco me hace mucho sentido

[Al2000]

El comentario si se ve, aunque no deberías usarlo para continuar con la discusión del hilo, Ya que lo repetiste, me voy a permitir borrarlo.

Respondiendo a tu pregunta... es que no hay nada que justificar, el cálculo te muestra que la fem inducida es una función del tiempo. En todo caso tendrías que investigar la posibilidad de que cualquiera de los factores que multiplican la función coseno ($B_0 a b \omega$) pueda ser cero, pero las condiciones del problema no lo permiten.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Visitante]

Hola de nuevo, comparto los resultados que he ido obteniendo de momento por si hubiese algún error y porque considero que son de interés general:

Apartado a)

Está explicado en comentarios anteriores. Obtengo una fuerza electromotriz de: $\xi=-B_oab\omega\cos(2\omega t + \theta + \sigma)$

Apartado b)

No es posible, en el post anterior a este Al2000 lo explica. Muchas gracias, no lo había visto a la hora de hacer este post y por eso lo estoy editando.

Apartado c)

Una vez más fue el compañero Al2000 el que compartió las dos expresiones necesarias para resolver el problema. El momento magnético de la espira es $\vec \mu = i \vec A$ y para calcular el torque usamos: $\vec \tau = \vec \mu \times \vec B$.
Lo primero que he hecho ha sido calcular la intensidad de corriente (he cogido el valor absoluto de la fem)
$I=\xi/R$
Para calcular el torque lo he hecho calculando su módulo en vez de calcular su vector por ello he determinado $\beta$ como el ángulo que forman el vector superficie con el vector campo magnético. Aclaro que no estoy muy segura de este paso pues al ir rotando la espira de este modo solo podríamos calcular el torque en un momento instantáneo pero la verdad es que no sabía realizarlo mediante el producto vectorial. En consecuencia he usado la expresión:

$\tau = \mu B \sin\beta$

Finalmente he obtenido un valor de:

$\tau =(B_0^2 (ab)^2 \omega \cos(2 \omega t + \sigma +\theta) \cos(\omega t +\theta) \sin\beta )/R$

Apartado d)

No he encontrado en mis apuntes ninguna expresión para calcular el trabajo del campo magnético pero me voy a poner a investigar por internet. Si alguien tiene alguna idea es bienvenida.

Apartado e)

Lo primero que he hecho ha sido calcular la potencia $P=I \xi$. Ahora he llamado $T$ al periodo, es decir, el tiempo que tarda en dar la espira una vuelta completa y he integrado la expresión de P entre (0, T).

He obtenido un resultado de:

$E= (B_0 ab \omega)^2 \sin(2(\omega T + \sigma +\theta)) + 2 \omega T - sin(2(\sigma + \theta))/(4 R \omega)$


Si tengo algo mal ruego que me lo comuniques y aportéis todo lo que creas necesario, tanto para los apartados b y d como todos los posibles errores en los demás (reitero en que no estoy 100% segura en ellos y me he guiado por mi intuición y por el estudio de mis apuntes teóricos ya que no dispongo en ellos de ejemplos prácticos).

Un cordial saludo y mucho ánimo

[Al2000]

...
Apartado c)

Una vez más fue el compañero Al2000 el que compartió las dos expresiones necesarias para resolver el problema. El momento magnético de la espira es $\vec \mu = i \vec A$ y para calcular el torque usamos: $\vec \tau = \vec \mu \times \vec B$.
Lo primero que he hecho ha sido calcular la intensidad de corriente (he cogido el valor absoluto de la fem)
$I=\xi/R$
Para calcular el torque lo he hecho calculando su módulo en vez de calcular su vector por ello he determinado $\beta$ como el ángulo que forman el vector superficie con el vector campo magnético. Aclaro que no estoy muy segura de este paso pues al ir rotando la espira de este modo solo podríamos calcular el torque en un momento instantáneo pero la verdad es que no sabía realizarlo mediante el producto vectorial. En consecuencia he usado la expresión:

$\tau = \mu B \sin\beta$

Finalmente he obtenido un valor de:

$\tau =(B_0^2 (ab)^2 \omega \cos(2 \omega t + \sigma +\theta) \cos(\omega t +\theta) \sin\beta )/R$
...

El momento magnético es paralelo al vector área y por consiguiente el ángulo con el campo valdrá $\frac \pi 2 - \alpha$. El torque que un agente externo debe aplicar para mantener la espira rotando con velocidad angular constante es el opuesto del torque que produce el campo magnético. Tu respuesta debería ser entonces que el torque aplicado vale $\vec \tau = - \vec \mu \times \vec B$.

...
Apartado d)

No he encontrado en mis apuntes ninguna expresión para calcular el trabajo del campo magnético pero me voy a poner a investigar por internet. Si alguien tiene alguna idea es bienvenida.
...

Entiendo que lo que están pidiendo es el trabajo que hace al agente externo al aplicar el torque calculado en c). Ese trabajo lo puedes calcular como $\int \tau\,d \alpha$ en un período.

...
Apartado e)

Lo primero que he hecho ha sido calcular la potencia $P=I \xi$. Ahora he llamado $T$ al periodo, es decir, el tiempo que tarda en dar la espira una vuelta completa y he integrado la expresión de P entre (0, T).

He obtenido un resultado de:

$E= (B_0 ab \omega)^2 \sin(2(\omega T + \sigma +\theta)) + 2 \omega T - sin(2(\sigma + \theta))/(4 R \omega)$
...

En principio no tengo nada que objetar, aunque yo preferiría integrar $P = I^2 R$. Sin embargo el resultado que pones es incorrecto pues es dimensionalmente inconsistente a menos que te hayas "comido" algún paréntesis al tipear el resultado.

De todas formas, el resultado no debería quedar en función de $T$ sino de los parámetros que establece el enunciado (en otras palabras, deberías reemplazar $T$ por $2 \pi / \omega$).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Visitante]

Buenas, estos son mis resultados finales:

Apartado c)
Simplemente le he cambiado el signo al resultado que he dado antes por ser este el torque que necesitamos aplicar sobre la espira para que gire con la velocidad angular dada constante $\omega$.

Apartado d)

Para calcular el trabajo he integrado el resultado anterior para un periodo, es decir entre 0 y T, en el resultado final sustituyo T por: $2\pi/\omega$
y finalmente obtengo un resultado de:
$W =-(B_0^2 (ab)^2 \omega \cos(2 \omega t + \sigma +\theta) \cos(\omega t +\theta) \sin(2\pi/\omega) )/R$ Julios

Apartado e)

He calculado la potencia como me sugirió el compañero, $P = I^2 R$ y después he integrado esa expresión en función del tiempo entre 0 y T, sustituyendo al final $T=2\pi/\omega$.

Con esto obtengo un resultado final de:

$E=(B_0 ab \omega)^2 [\sin(4 \pi + \sigma +\theta) - sin(\sigma + \theta)])/(2 R \omega)$

Un saludo.

[Al2000]

-- Revisa el apartado d), la respuesta no debe quedar en función del tiempo,

-- Como la función seno es periódica con período $2 \pi$, entonces $\, \mathrm {sen} \, (4 \pi + \sigma + \theta ) = \, \mathrm {sen} \, (\sigma + \theta )$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Visitante]

Dos dudas rápidas, el apartado d lo he integrado en función de $\alpha$ pero creo que lo debería haber hecho en función del tiempo para sustituirlo por el periodo no es cierto?

Y la segunda duda es, en el apartado dos si sustituyo como tu dices $\, \mathrm {sen} \, (4 \pi + \sigma + \theta ) = \, \mathrm {sen} \, (\sigma + \theta )$ entonces la energía disipada en cada vuelta sería 0, tiene sentido esto? Osea matemáticamente si, pero fisicamente no me tiene sentido lo que me hace pensar que quizá algún calculo en este apartado este mal?

[Al2000]

Correcto a la primera pregunta. Como vas a integrar sobre un período, debes expresar $\alpha$ en función del tiempo. Tendrías que $d \alpha = d(\omega t + \sigma ) = \omega \, dt$.

Si existe una corriente inducida, la espira debe disipar alguna energía, ese resultado nulo no es razonable.

Mira, yo he estado muy haragán en estos días y no me he sentado a resolver el problema. Te he dejado todo el trabajo a ti (como debe ser ) y te he ido comentando mis ideas en la medida que has ido avanzando en la solución, mientras paso de hacer jardinería a matar monstruos en el computer. ¡Ánimo!

Saludos,

$\mathcal A \ell$