Tensión circuito de corriente alterna

[alexpglez]

Re: Tensión circuito de corriente alterna

En fin, pongo el procedimiento y los cálculos para que lo vea fylux. Lo primero es por mallas o por kirchoff, obtener las ecuaciones, como bien acaba de escribir Al. Me baso en las suyas, y dado que $\vec Z_1=\vec Z_3$ prescindiré de este tercer símbolo, también escribiré otro símbolo: $\vec Z_T=\vec Z_1+\vec Z_2$.
Procedo a su cálculo (recuerda que estas impedancias simplemente es agrupar las que están en serie en tu circuito):

$$\vec Z_1=R_1+j\omega L=2000+j 1000 * 2 =2+j2 k\Omega$$

$$\vec Z_2=R_2-j\frac{1}{omega C}=1000-\frac{1}{1000*0,5*10^{-6}}=1-j2 k\Omega=2,24_{-63,43} k\Omega$$

Ahora sumamos las impedancias (en binómica):

$$\vec Z_T=\vec Z_1+\vec Z_2=(2+j2)+(1-j2)=3 k\Omega$$

(De ahora en adelante para ahorrar no escribiré las unidades, trabajando en kOhm, mA, V y grados)
Ahora por mallas dado el circuito, si no ves que hay elementos resistivos, inductivos o capacitivos en serie, no te preocupes analiza como te ha dicho Al y ve agrupando para que quede ordenado. Si lo ves, pues agrupas al principio como el dibujo que ha dicho Al, y calculas las impedancias (en este caso ya las hemos calculado:

$$-\vec I' (\vec Z_1 + \vec Z_2) + \vec I'' \vec Z_2 +\vec V_1 = 0$$

$$-\vec I'' (\vec Z_2 + \vec Z_1) + \vec I'\vec Z_2 - \vec V_2 = 0$$

Es decir, ordenando en matrices para poder aplicar Cramer:

$$\begin{pmatrix}<br /> - \vec Z_T & \vec Z_2 \\<br /> \vec Z_2 & - \vec Z_T<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> \vec I' \\<br /> \vec I''<br /> \end{pmatrix}<br /> = <br /> \begin{pmatrix}<br /> -\vec V_1 \\<br /> \vec V_2<br /> \end{pmatrix}$$

De aquí:

$$\Delta=<br /> \begin{vmatrix}<br /> - \vec Z_T & \vec Z_2 \\<br /> \vec Z_2 & - \vec Z_T<br /> \end{vmatrix}=\vec Z_T^2 - \vec Z_2^2=3^2-2,24^2_{-2*63,43}=12,65_{-18,43}$$

Donde aquí hay que hacer el determinante, pasar de polar a binómica, sumar, y dejar el resultado en polar ya que nos es útil para dividir después.

$$\Delta_1=<br /> \begin{vmatrix}<br /> - \vec V_1 & \vec Z_2 \\<br /> \vec V_2 & - \vec Z_T<br /> \end{vmatrix}=\vec V_1 \vec Z_T- \vec Z_2 \vec V_2=14,1_{-45,11}$$

$$\Delta_2=<br /> \begin{vmatrix}<br /> - \vec Z_T & - \vec V_1 \\<br /> \vec Z_2 & \vec V_2<br /> \end{vmatrix}=- \vec Z_T \vec V_2 + \vec V_1 \vec Z_2=51_{-78,69}$$

Entonces:

$$\vec I'=\frac{\Delta_1}{\Delta}=1,12_{-26,68}$$

$$\vec I''=\frac{\Delta_1}{\Delta}=4,032_{-60,26}$$

Ahora se hace la resta para sacar la $\vec I_2$, para ello hay que pasar de polar a binómica, restar y conviene $I_2$ pasarlo a polar.
Entonces:

$$\vec I_2 = \vec I'-\vec I''=3,16_{108,4}$$

Ahora para calcular la diferencia de potencial la podemos calcular por una rama que queramos, en este caso por 2:

$$\vec U_{ab}=\vec Z_2 \vec I_2=7,078_{44,97}$$

Por lo que el valor instantáneo:

$$U_{ab}(t)=7,078\sin(1000t+0,785)$$

[Alriga]

Re: Tensión circuito de corriente alterna

MÉTODO DE LAS MALLAS.

Voy a llamar z1 a la impedancia que hay en la rama donde está V1, (rama de la izquierda)
z2 a la impedancia que hay en la rama donde está V2, (rama de la derecha)
z3 a la impedancia que hay en la rama del centro
Se asume que los terminales negativos de ambas fuentes, V1 y V2 son los que están conectados al terminal B
i1 es la corriente de malla de la malla de la izquierda, que defino como positiva en sentido horario
i2 es la corriente de malla de la malla de la derecha, que defino como positiva en sentido antihorario
Voy a utilizar para V1 y V2 los valores máximos en vez de los valores eficaces, simplemente porque el enunciado da el valor entero 10 para su módulo y hace los cálculos más simples.
Como unidades, se van a usar Volts, mA y $k\Omega$

$V_1=z_1i_1+(i_1+i_2)z_3$

$V_2=z_2i_2+(i_1+i_2)z_3$

Operando.

$V_1=(z_1+z_3)i_1+z_3i_2$

$V_2=z_3i_1+(z_2+z_3)i_2$

Resolviendo el sistema por la Regla de Cramer

$i_1=\dfrac{(z_2+z_3)V_1-z_3V_2}{(z_1+z_3)(z_2+z_3)-z_3^2}$

$i_2=\dfrac{(z_1+z_3)V_2-z_3V_1}{(z_1+z_3)(z_2+z_3)-z_3^2}$

Los valores de las impedancias:

$\omega=1000 \ rad/s$

$z_1=(2+j2) \ k\Omega$

$z_2=(2+j2) \ k\Omega$

$z_3=(1-j2) \ k\Omega$

Las tensiones en valor de pico:

$V1=10 \ V$

$V2=j10 \ V$

Sustituyendo y operando:

$i_1=\dfrac{3 \cdot 10-(1-j2)j10}{3 \cdot 3-(1-j2)^2}= (0.5-j) \ mA$

$i_2=\dfrac{3 \cdot j10-(1-j2)10}{3 \cdot 3-(1-j2)^2}= (0.5+j4) \ mA$

$i_1+i_2=1+j3$

$V_{AB}=z_3 (i_1+i_2) = (1-j2)( 1+j3)=(7+j) \ V=7.071 \ \angle 0.142$

$V_{AB}=7.071 \sin(1000 \ t + 0.142)$

Saludos.

[alexpglez]

Re: Tensión circuito de corriente alterna

Vaya, estoy espeso con los cálculos, mi error, constantemente! era que:

$$\Delta=<br /> \begin{vmatrix}<br /> - \vec Z_T & \vec Z_2 \\<br /> \vec Z_2 & - \vec Z_T<br /> \end{vmatrix}=\vec Z_T^2 - \vec Z_2^2=3^2-2,24^2_{-2*63,43}=12,65_{(+)18,43}$$

Cuando había escrito un -. Siento que mi mensaje pueda liarte... Pero el método de trabajar es el que hemos señalado.

[Visitante]

Re: Tensión circuito de corriente alterna

Increible, me he despertado y todo lleno de cálculos.

Muchas gracias, Alriga, Alexplgez y Al2000. Ya con la última explicación paso por paso de Alriga lo he entenidido. Creo que la otra vez que lo intenté calcular y no me dio fue porque tome mal los datos o había algún fallo en la ecuación de Alex, yo mismo tomé el segundo voltaje como si fuera -10 en vez de 10j ;(

La verdad que no me manejo mucho con Kramer así que lo he resuelto por sustitución y al final he conseguido que me diera!!!! aunque he tenido un montón de fallos aritméticos por el camino así que la probabilidad que tengo de hacerlo mal es muy alta.

En cualquier caso muchas muchas gracias a todos por vuestro tiempo (se que siempre es un coñazo resolver sistemas de ecuaciones) y ahora veo mucho más claro esto, es como corriente continua pero tienes que considerar impedancias en vez de resistencias y estar siempre trabajando con ángulos y números complejos.

Ya pensaba dejarme esto sin estudiar para el examen por lo difícil que parecía pero ahora voy a darle otra oportunidad, voy a hacer bastantes ejercicios de estos a ver si ocurre el milagro.

Muchas gracias a todos.

Saludos.

PD: Voy a pasar este post por mi clase porque creo que nadie tiene ni idea de como se hace esto y seguro que ayuda mucho.

- - - Actualizado - - -

Pregunta breve a parte:

He visto que con los números complejos hacéis factor común al poner 0.5+3j Kilo algo, pero ¿se puede sacar factor común o hay que poner 500+3000j? Lo digo porque los resultados son distintos.

Saludos.

[Alriga]

Re: Tensión circuito de corriente alterna

Pregunta breve a parte:
He visto que con los números complejos hacéis factor común al poner 0.5+3j Kilo algo, pero ¿se puede sacar factor común o hay que poner 500+3000j? Lo digo porque los resultados son distintos.

Cuando escribimos z=500+3000j

500=R es una resistencia
3000=X es una reactancia
z es una impedancia

La unidad de esas 3 magnitudes es la misma, el $\Omega$ Si deseamos poner las unidades, hay varias formas de hacerlo:

$z=500 \ \Omega + 3000j \ \Omega$

$z=(500+3000j) \ \Omega$

$z=0.5 \ k\Omega + 3j \ k\Omega$

$z=(0.5 + 3j) \ k\Omega$

E incluso $z/k\Omega=0.5 + 3j$

Recuerdo un hilo en el que se hablaba de como poner las unidades en vectores, no es exactamente lo mismo, pero he usado la misma filosofía:

Duda sobre las unidades

Saludos.

[Alriga]

Re: Tensión circuito de corriente alterna



$V1 = 10 \ \sin(1000\ t )$

$V2 = 10 \ \sin(1000\ t + \frac{\pi}{2})$


RESOLUCIÓN MEDIANTE EL TEOREMA DE THEVENIN

Aunque el creador del hilo preguntó por la resolución del ejercicio por el método de las mallas, se va a resolver también mediante el método de hallar la tensión de Thevenin entre A y B, por si interesa a otros usuarios de la web.

Voy a llamar z1 a la impedancia que hay en la rama donde está V1, (rama de la izquierda)
z2 a la impedancia que hay en la rama donde está V2, (rama de la derecha)
z3 a la impedancia que hay en la rama del centro
Se asume que el terminal negativo de ambas fuentes, V1 y V2 es el que está conectado al terminal B
Voy a utilizar para V1 y V2 los valores máximos en vez de los valores eficaces, simplemente porque el enunciado da el valor entero 10 para su módulo y hace los cálculos más simples.
Como unidades, se van a usar Volts, mA y $k\Omega$

Los valores de las impedancias:

$\omega=1000 \ rad/s$

$z_1=R_1+j \omega L_1=2000+j1000 \cdot 2=(2+j2) \ k\Omega$

$z_2=R_2+j \omega L_2=2000+j1000 \cdot 2=(2+j2) \ k\Omega$

$z_3=R_3-\dfrac{j}{\omega C}=1000-\dfrac{j}{1000 \cdot \notcien{0.5}{-6}}=(1-j2) \ k\Omega$

Las tensiones en valor de pico:

$V1=10 \ V$

$V2=j10 \ V$

IMPEDANCIA DE THEVENIN entre A y B

Para calcularla se cortocircuitan las dos fuentes de tensión. El circuito que queda está compuesto por las 3 impedancias z1, z2 y z3 en paralelo.

$\dfrac{1}{z_{th}}=\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}+\dfrac{1}{z_3}$

$\dfrac{1}{z_{th}}=\dfrac{1}{2+j2}+\dfrac{1}{2+j2}+\dfrac{1}{1-j2}=0.7-j0.1$

$z_{th}=1.4+j0.2$

CORRIENTE DE CORTOCIRCUITO

Para calcular la tensión de Thevenin vamos a calcular como paso previo la corriente que pasaría por un conductor que cortocircuite A con B
Cortocircuitando AB, la rama central de impedancia z3 desaparece y queda un circuito a la derecha con V1 y z1 que es independiente del circuito de la derecha con V2 y z2. Calcularemos las corrientes que circulan por cada uno de los circuitos. La corriente de cortocircuito total será la suma de ambas.

Izquierda.

$I_{1cc}=\dfrac{V1}{z_1}=\dfrac{10}{2+j2}=2.5-j2.5$

Derecha.

$I_{2cc}=\dfrac{V2}{z_2}=\dfrac{j10}{2+j2}=2.5+j2.5$

La corriente de cortocircuito:

$I_{cc}=I_{1cc}+I_{2cc}=2.5-j2.5+2.5+j2.5=5 \ mA$

TENSIÓN DE THEVENIN

$V_{th}=z_{th} \cdot I_{cc}=(1.4+j0.2) \cdot 5= (7+j) \ V=7.071 \ \angle 0.142$

$V_{AB}=7.071 \sin(1000 \ t + 0.142)$

Saludos.

[Alriga]

Re: Tensión circuito de corriente alterna

RESOLUCIÓN MEDIANTE LA APLICACIÓN DEL TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

Otra posible manera de resolver el ejercicio es mediante la aplicación del teorema de superposición.

$V1 = 10 \ \sin(1000\ t )$

$V2 = 10 \ \sin(1000\ t + \frac{\pi}{2})$

Voy a llamar z1 a la impedancia que hay en la rama donde está V1, (rama de la izquierda)
z2 a la impedancia que hay en la rama donde está V2, (rama de la derecha)
z3 a la impedancia que hay en la rama del centro
Se asume que el terminal negativo de ambas fuentes, V1 y V2 es el que está conectado al terminal B
Voy a utilizar para V1 y V2 los valores máximos en vez de los valores eficaces, simplemente porque el enunciado da el valor entero 10 para su módulo y hace los cálculos más simples.
Como unidades, se van a usar Volts, mA y $k\Omega$

Los valores de las impedancias

$\omega=1000 \ rad/s$

$z_1=2000+j1000 \cdot 2=(2+j2) \ k\Omega$

$z_2=2000+j1000 \cdot 2=(2+j2) \ k\Omega$

$z_3=1000-\dfrac{j}{1000 \cdot \notcien{0.5}{-6}}=(1-j2) \ k\Omega$

Las tensiones en valor de pico:

$V_1=10 \ V$

$V_2=j10 \ V$

La aplicación del teorema de superposición consiste en:

1º Suponer que en el circuito solo actúa V1, (V2 se cortocircuita) y se calcula VAB1
2º Suponer que en el circuito solo actúa V2, (V1 se cortocircuita) y se calcula VAB2
3º Superponer VAB1 y VAB2 para obtener VAB=VAB1+VAB2


1. Solo actúa V1, (V2 se cortocircuita) La impedancia total del circuito que ve V1 es:

$z_{11}=z_1+(z_3||z_2)=z_1+\dfrac{z_3 \cdot z_2}{z_3+z_2}$

$z_{11}=2+j2+\dfrac{(1-j2)(2+j2)}{1-j2+2+j2}=4+j1.3333$

$i_1=\dfrac{V_1}{z_{11}}=2.25-j0.75$

$V_{AB1} = V_1 - z_1 \cdot i_1=10-(2+j2)(2.25-j0.75)=4-j3$

2. Solo actúa V2, (V1 se cortocircuita) La impedancia total del circuito que ve V2 es:

$z_{22}=z_2+(z_3||z_1)=z_2+\dfrac{z_3 \cdot z_1}{z_3+z_1}$

$z_{22}=2+j2+\dfrac{(1-j2)(2+j2)}{1-j2+2+j2}=4+j1.3333$

$i_2=\dfrac{V_2}{z_{22}}=0.75+j2.25$

$V_{AB2}= V_2 - z_2 \cdot i_2=j10-(2+j2)(0.75+j2.25)=3+j4$

3. Superposición

$V_{AB}=V_{AB1}+V_{AB2}=4-j3+3+j4= (7+j) \ V=7.071 \ \angle 0.142$

$V_{AB}=7.071 \cdot \sin(1000 \ t + 0.142)$

Saludos.

[Alriga]

RESOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS POTENCIALES DE NUDO

Los valores de las impedancias:

$\omega=1000 \ rad/s$

$z_1=R_1+j \omega L_1=2000+j1000 \cdot 2=(2+j2) \ k\Omega$

$z_2=R_2+j \omega L_2=2000+j1000 \cdot 2=(2+j2) \ k\Omega$

$z_3=R_3-\dfrac{j}{\omega C}=1000-\dfrac{j}{1000 \cdot \notcien{0.5}{-6}}=(1-j2) \ k\Omega$

Las tensiones en valor de pico:

$V1=10 \ V$

$V2=j10 \ V$

Hemos dejado para el final el método de resolución que conduce más rápidamente a la solución, el método de las tensiones de nudo basado en la primera Ley de Kirchhoff. Trabajando con tensiones de pico a la frecuencia angular de 1000 rad/s y en la forma "seno" hemos visto que el circuito con componentes del enunciado (izquierda) se convierte en el circuito con fasores complejos de la derecha.

El "método de los nudos" nos permite escribir:

$\dfrac{V_1-U_A}{z_1}+\dfrac{V_2-U_A}{z_2}=\dfrac{U_A}{z_3}$

Una única ecuación para obtener el resultado que pide el enunciado.

$\dfrac{10-U_A}{2+j2}+\dfrac{j10-U_A}{2+j2}=\dfrac{U_A}{1-j2}$

Operando

$U_A \cdot \left (\dfrac{2+j2}{1-j2}+2 \right )=10+j10$

Resolviendo:

$U_A=7+j1=7.071 \ \angle 0.142$

$V_{AB}=7.071 \cdot \sin(1000 \ t + 0.142)$

Saludos.