Hilos

[Visitante]

Se dispone de un hilo muy largo por el que circula una corriente y una espira rectangular de dimensiones, de forma que el lado izquierdo de la espira se encuentra inicialmente sobre el hilo de corriente. A continuación, la espira empieza a moverse hacia la derecha con velocidad constante.
Calcular:

- El valor del flujo magnético para cada instante de tiempo (t >0).

- El valor del coeficiente de inducción mutua entre la espira y el hilo para cada instante de tiempo (t >0).

- El valor y el sentido (horario o anti horario) de la corriente inducida en la espira para cada instante temporal (t >0), suponiendo que esta tenga una resistencia.

En este problema me fue imposible resolverlo ya que no entiendo muy bien que tengo que hacer y siempre se agradece una ayuda.

[Al2000]

Todo empieza con calcular el flujo magnético a través de la espira para un instante cualquiera. Puedes apoyarte en el mismo dibujo y llamar $x$ (o como te dé la gana) a la distancia entre la corriente rectilínea y el lado izquierdo de la espira. Nota que $x$ será función del tiempo, pero eso no te interesa en este momento (el cálculo del flujo depende solamente de factores geométricos).

La forma más sencilla de calcular el flujo es dividir el área de la espira en "tiras" muy delgadas paralelas a la corriente rectilínea. Ello es debido a que el campo que produce la corriente rectilínea depende solamente de la distancia a la corriente y será uniforme en una "tira" y perpendicular a su superficie. Específicamente, si consideras una tira la la distancia $x \leqslant r \leqslant x+a$, el campo en toda la tira valdrá $\dst B = \frac {\mu_0 I}{2 \pi r}$ y el flujo en la tira será $d \Phi_B = \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol A = B L\,dr$. Integra a todo el ancho de la espira para obtener el flujo en la espira. Si deseas expresarlo en función del tiempo (tendrás que hacerlo para el último inciso) reemplaza $x = v t$ en el resultado.

El coeficiente de inducción mutua lo obtienes dividiendo el flujo en la espira por el valor de la corriente que produce el flujo: $\dst M = \frac {\Phi_B} I$.

Finalmente el valor de la corriente inducida lo obtienes aplicando la Ley de Faraday para hallar la fem inducida y la Ley de Ohm para hallar la corriente. Para el sentido de la corriente inducida, puedes usar la Ley de Lenz.

Inténtalo y si necesitas cualquier otra ayuda, pide y te será dada

Saludos,

$\mathcal A \ell$

vale muchas gracias

Hola buenas he realizado los dos primeros apartados con lo que usted me indicado, pero en el c no consigo entenderlo y me preguntaba si podrías ayudarme dándome mas explicación sobre el mismo.

Gracias y saludos.

[Al2000]

Veamos, empecemos con el flujo. Dividiendo el área de la espira en "tiras" paralelas a la corriente y de ancho infinitesimal $dr$, el flujo resulta

$$\Phi_B = \int_A \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol A = \int_A \left(\frac {\mu_0 I}{2 \pi r} \boldsymbol u_\theta \right) \boldsymbol \cdot (L\,dr\, \boldsymbol u_\theta ) = \frac {\mu_0 I L}{2 \pi } \int_{x}^{x+a} \!\! \frac {dr} r = \frac {\mu_0 I L}{2 \pi } \ln \left(1+ \frac a x\right)$$

donde he considerado que la dirección del vector área es entrando al plano de la figura.

Con el flujo, el coeficiente de inducción mutua se obtiene inmediatamente al dividir el flujo por el valor de la corriente que lo produce:

$$M = \frac {\Phi_B} I = \frac {\mu_0 L}{2 \pi } \ln \left(1+ \frac a x\right)$$

La fem inducida la obtienes por aplicación de la Ley de Faraday:

$$\mathcal E = - \frac {d \Phi_B}{dt} = \frac {\mu_0 I L}{2 \pi } \frac {a v}{x(x+a)}$$

El valor positivo indica que la fem inducida tiene sentido horario. La corriente inducida tiene el mismo sentido y se obtiene inmediatamente al aplicar la Ley de Ohm:

$$I_\text {espira} = \frac {\mathcal E} R = \frac {\mu_0 I L}{2 \pi R} \frac {a v}{x(x+a)}$$

En lo que escribí arriba, el sentido de la fem inducida (y por lo tanto de la corriente) sale directamente al considerar el signo. Si lo deseas hacer razonándolo mediante la Ley de Lenz, podrías decir que, como la espira se mueve hacia zonas donde el campo es menos intenso, entonces el flujo disminuye; la corriente inducida debe aparecer de forma tal que se oponga a la disminución del flujo y por consiguiente debe ser de sentido horario para que genere un campo en la misma dirección que el campo inductor.

Un comentario final,,, ya que el dato es la velocidad $v$ de la espira y la variable $x$ solo se introdujo para facilitar el cálculo, tal vez sería preferible expresar todo en función de la velocidad:

$$\mathcal E = \frac {\mu_0 I L}{2 \pi } \frac a{(v t+a) t}$$

$$I_\text {espira} = \frac {\mu_0 I L}{2 \pi R} \frac a {(v t+a) t}$$

No se ve muy bonito pero las he visto más feas

Saludos,

$\mathcal A \ell/$

PD, Revisa, que lo escribí de corrido y no chequeé inconsistencias.

[Pangozus]

Buenas, estaba realizando el ejercicio por mi cuenta y tengo un pequeño problema a la hora de calcular la fem inducida por Faraday. Tras hacer la derivada del logaritmo neperiano obtengo la misma formula pero sin la V en la parte del numerador y es por saber si no estoy teniendo en cuenta algo.
Un saludo.

[Al2000]

Probablemente olvidaste multiplicar por $\dst \frac {dx}{dt} = v$ al hacer la derivación en cadena.

[Pangozus]

Vale, ya vi el error. Muchas gracias!