Densidad de polo magnético y densidad superficial del polo magnético

[Cradgube]

Buen día. Tengo ciertas dudas con el ejercicio siguiente, colocaré lo que creo que servirá para su resolución.
Para una esfera de material magnético de radio R colocada en el origen de coordenadas, cuya magnetización es $\vec{M}=(ax^{2}+b)\hat{u_{x}},$ a y b constantes. Determine
1) la densidad del polo magnético: $\rho_{m}=-\nabla \cdot \vec{M}$
2) la densidad superficial de la intensidad del polo magnetico: $\sigma_{m}=\vec{M} \cdot \hat{n}$
3) la densidad de corriente de magnetizacion superficial: $\vec{J}_{m}=\vec{M} \times \hat{n}$
Solución:
1) $\rho_{m}=-\nabla \cdot \vec{M}= - \dfrac{\partial}{\partial x}(ax^{2}+b)=-2ax$
2) La esfera tiene por ecuacion $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$. Luego, $\hat{n}$ es la normal unitaria a la esfera, esta la saqué de la siguiente manera
Tomé la función $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}$, luego $\vec{n}=\nabla f(x,y,z)=2x \hat{u}_{x}+2y \hat{u}_{y} + 2z \hat{u}_{z}$ pero como n debe ser unitaria se divide entre su magnitud, esto es, $\hat{n}=\dfrac{\vec{n}}{n}=\dfrac{2x \hat{u}_{x}+2y \hat{u}_{y} + 2z \hat{u}_{z}}{2 \sqrt{3}}=\dfrac{x \hat{u}_{x}+y \hat{u}_{y} + z \hat{u}_{z}}{\sqrt{3}}$, luego
$\sigma_{m}=\vec{M} \cdot \hat{n}=(ax^{2}+b)\hat{u_{x}} \cdot \dfrac{x \hat{u}_{x}+y \hat{u}_{y} + z \hat{u}_{z}}{\sqrt{3}}$, de donde, $\sigma_{m}=ax^{3}+bx^{2}$
3) $\vec{J}_{m}=\vec{M} \times \hat{n}=\begin{vmatrix} \hat{u}_{x}&\hat{u}_{y}&\hat{u}_{z}\\ ax^{2}+b&0&0\\ \dfrac{x}{\sqrt{3}}&\dfrac{y}{\sqrt{3}}&\dfrac{z}{\sqrt{3}}\\ \end{vmatrix}=\dfrac{-z(ax^{2}+b)}{\sqrt{3}}\hat{u}_{y} + \dfrac{y(ax^{2}+b)}{\sqrt{3}}\hat{u}_{z}$
Está todo bien?
Acepto cualquier consejo, sugerencia o ayuda. Gracias de antemano

[Al2000]

Respóndeme esto: Si un vector $\dst \vec v = (v_x, v_y, v_z)$ tiene módulo $\dst v = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$, ¿tu en verdad crees que un vector $(2x, 2y, 2z)$ tendrá módulo $2 \sqrt 3\,\,$?

[Cradgube]

Ashh que bobo fuí. El modulo sería 2R, luego el vector unitario seria $\hat{n}=\dfrac{\vec{n}}{n}=\dfrac{x}{R}\hat{u}_{x}+\dfrac{y}{R}\hat{u}_{y}+\dfrac{z}{R}\hat{u}_{z}$, luego $\sigma=\vec{M} \cdot \hat{n}=\dfrac{ax^{3}+bx}{R}$
$\vec{J}_{m}=\vec{M} \times \hat{n}= \begin{vmatrix}\\ \hat{u}_{x}&\hat{u}_{y}&\hat{u}_{z}\\ ax^{2}+b&0&0\\ \dfrac{x}{R}&\dfrac{y}{R}&\dfrac{z}{R}\\ \end{vmatrix}=\dfrac{-z(ax^{2}+b)}{R}\hat{u}_{y}+\dfrac{y(ax^{2}+b)}{R}\hat{u}_{z}$
Ahora si estaría todo bien?

[Cradgube]

O hay que hacer otro tipo de análisis?

[Al2000]

Paso. Yo solo te llamé la atención sobre un error evidente. El resto de la cuestión no lo conozco lo suficiente como para sugerir ningún otro análisis.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Cradgube]

Muchas gracias por tu ayuda Al. Saludos