Otras carreras Problema Circuito Corriente Alterna

[Myke]

Hola a tod@s. He comenzado a tratar el tema de Circuitos de Corriente Alterna. Tengo el siguiente problema y quería comprobar la resolución

Enunciado:

Aplicando los métodos para la resolución de circuitos de Corriente Alterna y los métodos para el cálculo de la potencia consumida resolver el siguiente ejercicio.

Datos:

V_s = 60 V
Frecuencia = 5 kHz
L = (1 / π) mH
C = (10 / 2π) μF
R = 10Ω

Calcular:

a) La impedancia total del circuito
b) La intensidad que circula por cada rama
c) La tensión en cada componente
d) La potencia media disipada en la resistencia de la rama de la fuente
e) El factor de potencia del circuito y la potencia activa proporcionada por l

Resolución:
a)
Zt = 30Ω

b)
I₁ = 60 V / 30 Ω
I₂ = 60 V / 10 Ω
I₃ = 1 / (1 / π) mH

d)
Efecto Joule en R1

P = (V_s)² / R1 = 60² / 10
P = 360 W
e)
Factor de Potencia
Bobina → Factor de Potencia = -π / 2
Factor de Potencia = cos -π / 2 = 0

Potencia Activa
P_a = V * I * cos(Factor de Potencia)
P_a = 60 V * 20 A * 1
P_a = 1200 W

[Alriga]

Hola Mike.

A mi no me sale que la impedancia total del circuito $Z$ sea de 30 Ohm como tú dices. Has de calcular, usando números complejos:

$Z=\big ((2R + X_c) || X_L \big )+R$

El símbolo || significa que están en paralelo.

Con:

$X_L=j w L$

$X_C=\dfrac{-j}{wC}$

Cuando tengas Z, la corriente que suministra el generador es:

$I_1=\dfrac{60}Z$

No sé de donde sacas 6 intensidades, solo hay 3 ramas, por lo tanto 3 intensidades:

1. La rama de la fuente y R (llamémosla $I_1$)
2. La rama de la inductancia (llamémosla $I_2$)
3. Y la rama en la que hay C y 2R (llamémosla $I_3$)

Con las corrientes calcula las tensiones en cada componente mediante la ley de Ohm generalizada para alterna. Si quieres calcular las 3 corrientes sin calcular primero la impedancia total del circuito, en este caso lo mas fácil analíticamente es empezar usando el método de los nudos. Pero a los principiantes les suele resultar conceptualmente más sencillo usar las Leyes de Kirchhoff, que serían:

$$60=10I_1+jwLI_2$$

$$jwLI_2=\left (20-\dfrac j{wC} \right ) I_3$$

$$I_1=I_2+I_3$$

Como el enunciado te da w, L y C, son 3 ecuaciones con 3 incógnitas, (las 3 corrientes)

Mira a ver si eres capaz de obtener Z y la corriente $I_1$ y te orientaremos como continuar

Saludos.

[Myke]

Hola Alriga. Muchas gracias por su ayuda

No termino de comprender el resultado de impedancia

Respecto a las intensidades (obtenidas antes de la edicion) he obtenido los siguientes valores:
I₁ = 6 A
I₂ = 5.81 A
I₃ = 0.76 A
En cuanto a las tensiones, aplico la Ley de Ohm, pero en los componentes que no son resistencias, ¿multiplico la intensidad el valor de dicho componente implicado?

[Alriga]

Respecto a las intensidades (obtenidas antes de la edicion) he obtenido los siguientes valores:
I₁ = 6 A
I₂ = 5.81 A
I₃ = 0.76 A

Empecemos por ahí. ¿Qué ecuaciones has plateado para hallarlas?

Saluudos.

[Myke]

Para el cálculo de cada una de las intensidades he empleado las siguientes ecuaciones:

$I_1=\dfrac{V_s}Z$

$I_2=\dfrac{V_s}L$

$I_3=\dfrac{V_s}{C+2R}$

Respecto a la impedancia, no sé si la siguiente ecuación es correcta: $Z=(\dfrac{2R + X_c} {X_L})+R$

[Richard R Richard]

Usa \dfrac{}{} para la fracción pon dentro del primer corchete el numerador y dentro del segundo todo lo que sea denominador
Edita el mensaje pues así no te puede entender quien quiera ayudarte.
https://forum.lawebdefisica.com/foru...n-los-mensajes

[Alriga]

Hola, está claro que debes repasar la teoría y los conceptos básicos. Escribir:

$I_2=\dfrac{V_s}L$

Es muy incorrecto, no has acertado ni el numerador ni el denominador, ya que:

La expresión general de la ley de Ohm en alterna para calcular la corriente que pasa por un elemento es:

$I=\dfrac V Z$

Siendo V la tensión en bornes de ese elemento y Z es la impedancia de ese elemento .

Observa que $V_s=60$ V no está aplicada entre los dos bornes(=terminales) de la inductancia, y además la impedancia de una inductancia no es L, sino que es $j w L$. Por lo tanto la expresión correcta es:

$I_2=\dfrac{U}{j w L}$

Lo que pasa es que la tensión "U" todavía no la sabemos, habrá que calcularla.

Para empezar con corriente alterna mira el hilo Circuito RLC serie. Potencia promedio que es el circuito más sencillo con 3 impedancias distintas que hay e intenta entenderlo y hacer las operaciones con números complejos por tu cuenta para que te entrenes a operar. Si tienes alguna duda allí, pregunta allí. Recuerda que los circuitos de AC solo se pueden resolver operando con números complejos,

En cuanto a tu ejercicio en concreto, para empezar a resolver el apartado (a), calcula primero las impedancias de cada rama:

En la rama de I1

$Z_1=R=10+j0=10$

En la rama de I2

$\boldsymbol{f=6 \ kHz=6000 \ Hz}$

$w=2\pi f$

$Z_2=X_L=j w L=j (2\pi \boldsymbol{6000})\left (\dfrac 1{\pi} 10^{-3} \right )=j12$

En la rama de I3

$Z_C=X_C=-\dfrac j{w C}=-\dfrac j{2\pi \boldsymbol{6000}\dfrac{10}{2\pi}10^{-6}}=-j16.6667$

$Z_3=R+R-\dfrac j{w C}=20-j16.6667$

Ahora observa que $Z_2$ y $Z_3$ están en paralelo, hay que calcular su impedancia equivalente $Z_p=Z_2 || Z_3$ calculando en números complejos:

$\dfrac 1{Z_p}=\dfrac 1{Z_2}+\dfrac 1{Z_3}$

Operando:

$Z_p=\dfrac 1{\dfrac 1{Z_2}+\dfrac 1{Z_3}}$

Que operando es lo mismo que:

$Z_p=\dfrac{Z_2 Z_3}{Z_2+Z_3}$

Finalmente para hallar la impedancia total del circuito observa que $Z_p$ queda en serie con la resistencia de la izquierda. Por lo tanto la impedancia total del circuito que te piden en el apartado (a) es:

$Z=10+Z_p$

Que es un número complejo. Cuando tengas ese valor el circuito ha quedado simplificado al generador conectado a los terminales de Z y puedes calcular, en números complejos, la corriente que suministra el generador:

$I_1=\dfrac{60}Z$

Haz estos cálculos, nos dices qué obtienes y continuaremos.

Saludos.

NOTA: Con f = 5 kHz los resultados están en el post#26

[Myke]

Muchas gracias, disculpa pero no hemos visto mucho los números complejos por lo que, me cuesta un poco más entenderlo

El valor de Z_p me ha quedado de la siguiente forma:
$Z_p =\dfrac{223.3333j}{-4.6667j+20}$

A continuación, las fórmulas de las intensidades, ¿serían de la siguiente forma? El problema se me presenta al sustituir el valor de Z_p en I₁
$I_1=\dfrac{V_s}Z$
$I_2=\dfrac{U}{j w L}$
¿Es el valor de U el mismo que Z_p?

[Alriga]

El valor de Z_p me ha quedado de la siguiente forma:
$Z_p =\dfrac{223.3333j}{-4.6667j+20}$

No es correcto el numerador de:

$Z_p=\dfrac{Z_2 Z_3}{Z_2+Z_3}$

Repasa las operaciones hasta que te de:

$Z_p=\dfrac{200+j240}{20-j4.6667}$

Ahora tienes que multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador para eliminar el número complejo del denominador

$Z_p=\dfrac{(200+j240)(20+j4.6667)}{(20-j4.6667)(20+j4.6667)}$

O alternativamente, pasar primero el numerador y el denominador a forma módulo-argumental para hacer la división más sencilla:

$Z_p=\dfrac{200+j240}{20-j4.6667}=\dfrac{312.41\angle 50.19^{\circ}}{20.5372\angle -13.13^{\circ}}$

Desempolva tu libro de matemáticas de bachillerato de números complejos y repasa el tema de las operaciones con números complejos. Si no operas con soltura números complejos no vas a poder avanzar. Haz las operaciones hasta que te de:

$Z_p=6.8286+j13.5933$ (forma binomial)

$Z_p=15.2119\angle 63.33^{\circ}$ (forma polar)

Después calcula Z como te he explicado en el post#6

Saludos.

[Myke]

He calculado el valor de Z aplicando la fórmula $Z=10+Z_p$ y he obtenido que Z = 16.8286 + 13.5933j

[Alriga]

He calculado el valor de Z aplicando la fórmula $Z=10+Z_p$ y he obtenido que Z = 16.8286 + 13.5933j

OK, pasa la forma binomial que has obtenido del número complejo Z a la forma de módulo y argumento $Z\angle \phi$, y esa será la respuesta al apartado (a)

Módulo de Z

$Z=\sqrt{16.8286^2+13.5933^2}$

Argumento de Z

$\phi=\arctan\dfrac{13.5933}{16.8286}$

Y ahora continua, mira el circuito simplificado de más a la derecha y calcula:

$I_1=\dfrac{60}Z=\dfrac{60}{16.8286+j13.5933}$

Para dar el valor de una corriente, una tensión o una impedancia es obligatorio siempre eliminar denominadores complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

$I_1=\dfrac{60(16.8286-j13.5933)}{(16.8286+j13.5933)(16.8286-j13.5933)}$

También puedes hacer la división (es más fácil) usando la forma módulo-argumental que has obtenido de Z :

$I_1=\dfrac{60}{Z\angle \phi}$

Después, mira el circuito del centro, puedes calcular U de dos maneras, (comprueba que obtienes lo mismo) :

$U=60-R I_1$

Obien:

$U=Z_p I_1$

La corriente I2, mira el circuito de la izquierda:

$I_2=\dfrac U{Z_2}$

Puedes calcular de dos formas la corriente I3 :

$I_3=\dfrac U{Z_3}$

O bien mediante la 1ª ley de Kirchhoff:

$I_3=I_1-I_2$

Calcúlalo de las dos formas y comprueba que te da lo mismo.

Saludos.

[Myke]

Muchas gracias

Tras efectuar las operaciones correspondientes he obtenido los siguientes resultados:
$Z = 21.6325 \Omega$
$\phi=0.6795 rad$
$I_1= 2.15760 -1.74280j$

$I_1 = \sqrt{2.15760^2+(-1.74280)^2} = 2.774 A$
$\phi = arctang \dfrac{-1.74280}{2.15760} = -38.93 rad$

$U = 60 - RI_1 = 38.424 - j1.74280$


$I_2= \dfrac{38.424\:-\:j1.74280}{\left(j10\right)\left(-j10\right)} = 0.38424-0.017428j A$

$I_2 = \sqrt{0.38424^2+(-0.017428)^2} = 0.3846 A$

$\phi=arctan \dfrac{-0.017428}{0.38424} = 0.385 rad$



$I_3 = \frac{38.424\:-\:j1.74280}{\left(20-j20\right)\left(20+j20\right)} = 0.04803-0.0021785j A$

$I_3 = \sqrt{0.04803^2+(-0.0021785)^2} = 0.0480 A$

$\phi=arctan \dfrac{0.0021785}{0.04803} = 0.048 rad$

[Alriga]

Tras efectuar las operaciones correspondientes he obtenido los siguientes resultados:

$Z = 21.632$

$\phi=0.678 (Decimal)$

$Z=21.6325 \ \Omega$ correcto

$\phi=0.6795 \ rad$ correcto. Qué significa ¿¿Decimal??

$I_1= 2.158 A$

No entiendo como has calculado $I_1$ ¿Cómo ha podido salirte un numero real en vez de un número complejo?

Saludos.

[Myke]

Cierto, disculpa, he editado la respuesta. He obtenido que el valor es: 2.15760 -1.74280j

[Alriga]

$I_1= 2.15760 -1.74280j$

Eso es correcto pero todavía no es la respuesta final al valor de la corriente. Las corrientes, tensiones e impedancias que te pidan en en enunciado has de darlas siempre como módulo con sus unidades y argumento con sus unidades. Pasa esa corriente a forma polar.

$U = 38.42$

Estamos igual que antes: ¿Cómo ha podido salirte un numero real en vez de un número complejo? Calcula el número complejo U y usa ese número complejo para calcular $I_2$ e $I_3$ que también han de salirte números complejos, no reales como dices en:

$I_2=\dfrac{38.42}{j12} = \dfrac{38.42}{(j12)(-j12)} = 0.26680 A$
$I_3 = 1.8908 A$

Saludos.

[Myke]

Gracias nuevamente, he vuelto a editar la pregunta con el nuevo resultado. Ambas intensidades son números complejos, ¿debo realizar el módulo de I2 e I3?

[Myke]

Una vez obtenida la impedancia Z procedí a obtener las intensidades que circula por cada una de las ramas

$I_1= 2.15760 -1.74280j$

$I_1 = \sqrt{2.15760^2+(-1.74280)^2} = 2.774 A$
$\phi = arctang \dfrac{-1.74280}{2.15760} = -38.93 rad$

Valor de U
$U = 60 - RI_1 = 38.424 - j1.74280$


$I_2= \dfrac{38.424\:-\:j1.74280}{\left(j10\right)\left(-j10\right)} = 0.38424-0.017428j A$

$I_2 = \sqrt{0.38424^2+(-0.017428)^2} = 0.3846 A$

$\phi=arctan \dfrac{-0.017428}{0.38424} = 0.385 rad$



$I_3 = \frac{38.424\:-\:j1.74280}{\left(20-j20\right)\left(20+j20\right)} = 0.04803-0.0021785j A$

$I_3 = \sqrt{0.04803^2+(-0.0021785)^2} = 0.0480 A$

$\phi=arctan \dfrac{0.0021785}{0.04803} = 0.048 rad$

Respecto a los últimos apartados:

d)
Efecto Joule en R1

P = (V_s)² / R1 = 60² / 10
P = 360 W

e)
Factor de Potencia
Bobina → Factor de Potencia = -π / 2
Factor de Potencia = cos -π / 2 = 0

Potencia Activa
P_a = V * I * cos(Factor de Potencia)
P_a = 60 V * 20 A * 1
P_a = 1200 W

[Alriga]

Una vez obtenida la impedancia Z procedí a obtener las intensidades que circula por cada una de las ramas

$I_1= 2.15760 -1.74280j$

$I_1 = \sqrt{2.15760^2+(-1.74280)^2} = 2.774 A$
$\phi = arctang \dfrac{-1.74280}{2.15760} = -38.93 rad$

Valor de U
$U = 60 - RI_1 = 38.424 - j1.74280$

Muy bien $I_1$

Con $U$ has debido cometer algún pequeño error algebraico y te baila un signo y la posición de la coma, porque lo correcto es $U=60-RI_1= 38.4238 +j17.4285$, repásalo:

Observa que en:

$I_2= \dfrac{38.424\:-\:j1.74280}{\left(j10\right)\left(-j10\right)}$

hay una aberración matemática: para transformar una fracción en otra equivalente hay que multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, (no solo el denominador ya que eso no da una fracción equivalente) Repito, has de multiplicar por el conjugado del denominador, no solo el denominador, sino también el numerador.

Además el denominador es $Z_2=j12$ y no j10

Otra cosa, no edites posts anteriores, porque se pierde el hilo. Recuerda que si haces doble click en una fórmula anterior se ve el Latex en el que está escrito y a continuación lo puedes marcar con el ratón, copiar y pegar como texto sin formato.

Saludos.