1r ciclo Campo eléctrico en la dirección del diámetro de un disco con carga uniforme distribuida

[Civiloco]

Buenas noches, tengo un problema para plantear el siguiente problema: Un disco de radio r tiene una carga Q distribuida uniformemente. El disco está en el plano XY y su centro está en el punto (0, 0, 0). Si una barra con densidad de carga $\lambda$, se localiza entre los puntos (0, 0, h) y (0, h, h+L) con h>0. ¿Cuál es la fuerza que ejerce el disco sobre la barra? Espero sus sugerencias y recomendaciones de alguna bibliografía de apoyo. Muchas gracias.

[Richard R Richard]

Pues parece que tienes que resolver una integral triple.

En el disco tienes una distribución de cargas uniforme en dos dimensiones y que actúan sobre cada carga de una densidad lineal de la barra en una tercera dimensión

$F=\dst\int_0^R\int_0^{2\pi}\dfrac{\sigma}{4\pi\epsilon_0}\int_h^{h+L}\lambda \dfrac{r z}{\sqrt{z^2+r^2}^3} dz d\phi dr$

creo que esta integral se resuelve por métodos mas facil, que no recuerdo ahora

[JCB]

Hola a tod@s.

No me extraña que tengas doble problema. Es que si las coordenadas de posición del segundo extremo de la barra son $(0, h, h+L)$, en lugar de $(0, 0, h+L)$, tampoco sabría resolverlo.

Voy a suponer que sea un gazapo, y que realmente las coordenadas del segundo extremo son $(0, 0, h+L)$. En ese caso, partiendo del campo eléctrico de un disco uniformemente cargado, el ejercicio se hace más llevadero.

En el eje $Z$, y considerando anillos concéntricos de espesor $dr$, llegas a obtener el módulo del campo eléctrico, que es

$E=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)$.

La fuerza elemental en la barra es $dF=Edq=E\lambda dz$.

$F=\dst\int_{h}^{h+L}\dfrac{\sigma \lambda}{2\epsilon_0}\left(1-\dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)dz$.

Con el cambio de variable $u=R^2+z^2$, obtengo (salvo error u omisión)

$F=\dfrac{\sigma \lambda}{2\epsilon_0}\left(L-\sqrt{R^2+(h+L)^2}+\sqrt{R^2+h^2}\right)$.

En cuanto a la bibliografía, en mi época de estudiante (y ahora también) utilicé

- Electromagnetismo aplicado (Plonus, M.),

- Campos y ondas electromagnéticas (Lorrain, P. y Corson, D.). Este último, para mí, más difícil de comprender.

En internet también encontrarás ayuda.

A ver si algún estudiante de la época actual, te puede aconsejar mejor.

Saludos cordiales,
JCB.