Otras carreras Cacular la circulacion de un campo magnético

[danielandresbru]

Hola me estaba planteando calcular la circulacion del campo magnético genera por un hilo infinito posicionado en un punto (d,0) con direccion y sentido del vector $\vec{k}$. El recorrido de circulación es la circunferencia de radio R, tal como anexo en la figura.
Lo que he planteado es lo siguiente:

El Módulo del B producido por el hilo es $|\vec{B}|=\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2 \pi |\vec{r}|}$. El vector $\vec{r}$ par un punto generico
$(x,y)$ será $\vec{r}=(x,y)-(d,0)=(x-d , \ y \ )$ y por tanto su módulo $|\vec{r}|=\sqrt{(x-d)^2+y^2}$. Por lo que me quedaría que el módulo de B es
$|\vec{B}|=\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2 \pi \sqrt{(x-d)^2+y^2}}$. $\vec{B}$ será por tanto $\vec{B}=|\vec{B}|(-\sin(\theta),\cos(\theta))$ (siendo el ángulo theta el que se ve en la figura.



El ángulo $\theta$ será $\theta=\arctan\Big(\displaystyle \frac y{x-d}\Big)$, usando las propiedades trigonométricas $\sin(\arctan(\varphi))=\displaystyle \frac \varphi{\sqrt{1+\varphi^2}}$ y
$\cos(\arctan(\varphi))=\displaystyle \frac 1{\sqrt{1+\varphi^2}}$. LLego a que $\vec{B}=\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2 \pi \sqrt{(x-d)^2+y^2}} \Bigg(\displaystyle \frac{-y}{\sqrt{(x-d)^2+y^2}} , \displaystyle \frac{x-d}{\sqrt{(x-d)^2+y^2}}\Bigg)$ $=\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2 \pi \Big[(x-d)^2+y^2 \Big]} (-y \ , x-d)$.

Si tengo en cuenta que parametrizando la curva $\ell$ puedo usar la siguiente expresión
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Parametrizo la curva en polares $x=R \cos(t)$ y $y=R \sin(t)$ con $t \in [0,2\pi]$

Tengo que $\vec{\ell}'(t)=(-R\sin(t),R\cos(t))$ y $\vec{B}\big(\ell(t)\big) = \displaystyle \frac{\mu_0 I}{2 \pi \Big[(R\cos(t)-d)^2+R^2\sin^2(t) \Big]} (-R\sin(t) \ , R\cos(t)-d)$

Por lo que la integral me quedaría $\displaystyle \oint_{\ell}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}$=
$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle \frac{\mu_0 I}{2 \pi \Big[(R\cos(t)-d)^2+R^2\sin^2(t) \Big]} (-R\sin(t) \ , R\cos(t)-d) \cdot (-R\sin(t),R\cos(t))dt$=$\displaystyle \frac{\mu_0 I} {2\pi} \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \displaystyle \frac{R^2 -dR\cos(t)}{ \Big[(R\cos(t)-d)^2+R^2\sin^2(t) \Big]}dt$.

Esta integral me da
$\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi} \Bigg( \frac t2 \Bigg]_0^{2\pi} + \ \arctan \Bigg( \frac{(d-R)\cot\big(\frac t2 \big)}{d+R} \Bigg) \Bigg]_0^{2\pi} \Bigg)$ y esto me da $\displaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi} \Bigg( \frac 12 (2\pi-0) + \bigg(-\frac \pi 2 -\frac \pi 2\ \bigg) \Bigg)=0$.

Pero se supone que me debería quedar algo en función de d y R, dandome 0 cuando d es mayor que R, y $\mu_0 I$ en el caso contrario, quisera saber en que me equivoqué muchas gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Cacular la circulacion de un campo magnético

Ley de Ampère: el resultado es $\mu_0 I$

[Al2000]

Re: Cacular la circulacion de un campo magnético

Si, después de todo ese maratón (¡y el de resolver la integral!) se llega a que

$$\int_{0}^{2 \pi }\!\! \frac {R^2 - R d \cos t}{R^2 - 2 R d \cos t + d^2}\,dt = [1 + \mathrm {sgn} (R - d)] \pi = \left(1 + \frac {R - d}{|R - d|}\right) \pi$$

de modo que la circulación vale $\mu_0 I$ si la corriente está encerrada por la curva o cero en caso contrario.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[danielandresbru]

Re: Cacular la circulacion de un campo magnético

Hola Al 2000 mi objetivo era llegar a una expresión como esa pero resolviendo la integral me quedaba otra cosa (la integral definida me quedaba siemore 0). Como llegaste a ese resultado?

[Al2000]

Re: Cacular la circulacion de un campo magnético

En eso no te puedo ayudar, la resolví usando el computador.

[danielandresbru]

Re: Cacular la circulacion de un campo magnético

Yo lo resolví por wolphram alpha, pero a mi me da distinto, creo que me estoy equivocando en algo pero no se en que

[Al2000]

Re: Cacular la circulacion de un campo magnético

Es posible que necesites pos procesar el resultado que obtienes. Con el software que utilizo (Mathcad) el resultado que obtengo si no impongo alguna condición es largo y difícil de manejar, pues el software trata las variables como si fuesen complejas. Si le impongo la condición de que $R$ y $d$ pertenecen a los reales, el resultado se reduce, luego de simplificar, a

$$\Lambda_B = \int_{0}^{2 \pi }\!\! \frac {R^2 - R d \cos t}{R^2 - 2 R d \cos t + d^2}\,dt = \mathrm {sgn} (d^2 - R^2)[-1 + \mathrm {sgn} (d^2 - R^2) ] \pi$$

Expresión que se puede escribir mas cómoda, si se invierten las restas dentro de las funciones signo, como $\dst \Lambda_B = \mathrm {sgn} (R^2 - d^2)[1 + \mathrm {sgn} (R^2 - d^2) ] \pi$. Puede observarse que la función signo que multiplica al corchete es superflua y finalmente la respuesta se simplifica a

$$\dst \Lambda_B = [1 + \mathrm {sgn} (R^2 - d^2) ] \pi$$

En el resultado que escribí originalmente, hice (aunque no lo dije ) la consideración adicional de que $d > 0$, quedando el resultado indicado.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

- - - Actualizado - - -

Acabo de ver tu actualización a tu mensaje original. Estás evaluando la arcotangente bajo la suposición de que $d>R$ y por lo tando el resultado debe darte cero. Considera el caso en que $d<R$ y el argumento de la arcotangente tiene el signo opuesto.