Otras carreras Calcular en donde se anula el campo magnético

[danielandresbru]

Hola quisiera saber como plantear este problema. Me dicen que tengo un cable como el que se muestra en la figura en que una parte tiene la intensidad hacia $\vec{k}$(la de radio R) y otra en sentido contrario (la parte con radio 2R menos la que tiene radio R). La intensidad es la misma $I$, es dcir es un cabe con corriente conatante en que una parte va en un setido y la otra en el opuesto. Y me piden hallar los puntos dentro del cable en que el campo magntico se anula.

Yo lo intenté dejandolo todos los campos magneticos de cada uno de los cables en cartesiana, y luego hice la suma $\vec{B_T}=\vec{B_{2R}} +2 \vec{B_R}$ y la iguale a $(0,0)$ (el $\vec{B_R}$ lo sumé dos veces por que el campo magnético $\vec{B_{2R}}$ lo hice sin tomar en cuenta el agujero, entonces un $\vec{B_R}$ sería para compensar ese espacio como si fuera vacío y el otro para sumar la de sentido contrario). Al hacer esto así me quedó un sistema de dos ecuaciones con dos incógntas no lineal muy complejo, así que creo que esa no es la mejor forma de resolverlo. Quisiera saber si sabeis como podría resolverlo de otra forma. Mchas gracias de antemano

[Al2000]

Re: Calcular en donde se anula el campo magnético

Yo abordaría el problema de manera puramente escalar. Es claro que el campo magnético sólo puede ser nulo en algún punto sobre extensión de la línea que une los ejes de las dos corrientes y mas allá de las corrientes. Tienes tres posibles casos: a la izquierda ambos campos exteriores, a la derecha pero en el interior del conductor mas grande será el campo exterior a una e interior a la otra y finalmente a la derecha y afuera de ambos conductores ambos campos serán campos exteriores.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Tu procedimiento de superposición no me gusta, creo que te estás dejando un factor por fuera. Si vas a superponer corrientes para hallar el campo creado por la suma de corrientes uniformemente distribuidas en la sección transversal del conductor, deberás tomar eso en consideración al hacer tus cuentas.

La corriente entrante al papel tiene una densidad $I/3 \pi R^2$ y para hallar el campo de esta corriente la puedes considerar como la suma de dos corrientes uniformemente distribuidas de la misma densidad, una en sentido entrante y la otra en sentido saliente. Está claro que la corriente entrante/saliente que hay que añadir es $(I/3 \pi R^2)(\pi R^2) = I/3$, para un total de $\frac 4 3 I$ entrante y $\frac 1 3 I$ saliente. Esto completa la corriente entrante, pero además hay que anadir la otra corriente saliente, para un total de $\frac 4 3 I$ saliendo del plano del papel.

Entonces tus dos corrientes se modelan como una corriente de radio 2R entrando al plano del papel y de valor $\frac 4 3 I$ mas una corriente de radio R saliendo del plano del papel y de valor $\frac 4 3 I$.

PD2. Me doy cuenta releyendo que omití una región de posible solución, que es a la izquierda de la corriente saliente, un punto interno a ambas corrientes, de manera que son cuatro posibles regiones a estudiar.

[visitante20160513]

Re: Calcular en donde se anula el campo magnético

Vamos a ver, es posible aplicar el principio de superposición pero es necesario hacerlo conforme a lo que realmente afirma el enunciado. Si suponemos que las densidades de corriente son uniformes en ambas secciones del cable (lo cual es mucho suponer) entonces tenemos que:

$J_\otimes=\displaystyle\frac{I}{4\pi R^2-\pi R^2}=\frac{I}{3\pi R^2}\qquad\qquad J_\odot=\displaystyle\frac{-I}{\pi R^2}$

Ahora bien podemos suponer que el campo magnético es la resultante de tres componentes:

1ª).- Una equivalente al circulo mayor completo recorrido por $J_\otimes$ la parte de corriente que entra al papel.
2ª):- Una equivalente al circulo menor completo recorrido por $-J_\otimes$ para compensar la parte que falta al círculo mayor.
3ª).- Una equivalente al circulo menor completo recorrido por $J_\odot$ la parte de corriente al círculo menor.

Pudiendo resumirse las dos últimas en una sola densidad de corriente de valor $J_\oplus=-J_\otimes +J_\odot=-\left(\displaystyle\frac{I}{3\pi R^2}+\displaystyle\frac{I}{\pi R^2}\right)=-\displaystyle\frac{4I}{3\pi R^2}$

Por lo tanto el campo magnético resultante sería la suma de los campos generados por $J_\otimes$ en el círculo mayor y $J_\oplus$ en el círculo menor, campos que al estar generados por densidades de corriente uniformes pueden calcularse fácilmente usando la ley de Ampere. Lo dejo aquí.

Salu2, Jabato.