Otras carreras Formula osclador ármonico elctro-magnético

[danielandresbru]

Hola estaba tratando de ver de donde salía la fórmula de la carga en función del tienpo en un circuito CL. Parti de que la diferencia de potencial en el Capacitador $\varepsilon$ menos la caida de tnesión en el inductor tiene que ser 0. [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
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Pero si parto de la conservación de la energía
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Llego a que
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por lo que lleho a dos ecuaciones diferenciales distintas, así que no se en donde está mi error. Muchas gracias de antemano

[arivasm]

Re: Formula osclador ármonico elctro-magnético

En primer lugar, la caída de tensión en el inductor no es $\dst \epsilon_L=-L\frac{\dd I}{\dd t}$, pues ésa es la fuerza electromotriz inducida, según se sigue de la ley de Faraday y la definición de coeficiente de autoinducción. Al igual que sucede en cualquier generador, los conceptos de fuerza electromotriz y caída de tensión son opuestos, de manera que $\dst v_L=-\epsilon_L=L\frac{\dd I}{\dd t}$. Por tanto, de que $v_C+v_L=0$ se sigue la ecuación

$\dst \frac{Q}{C}+L\frac{\dd I}{\dd t}=0$

y entonces la ecuación diferencial es

$\dst \frac{Q}{C}+L\frac{\dd^2 Q}{\dd t^2}=0$

que podemos escribir en la forma

$\dst \frac{\dd^2 Q}{\dd t^2}=-\omega^2 Q$

donde $\omega=1/\sqrt{LC}$ y cuya solución es un oscilador armónico de pulsación $\omega$.

En cambio, la ecuación que escribiste tú tendría por solución una exponencial, como puedes comprobar fácilmente.

Vayamos ahora con la conservación de la energía. Como bien escribes, tenemos que

$\dst U=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}+\frac{1}{2}LI ^2=cte$

derivando respecto del tiempo tenemos que

$\dst 0=\frac{Q}{C}\frac{\dd Q}{\dd t}+LI\frac{\dd I}{\dd t}=\frac{Q}{C}I+LI\frac{\dd I}{\dd t}=I\left(\frac{Q}{C}+L\frac{\dd I}{\dd t}\right)$

lo que nos conduce a la misma ecuación que antes:

$\dst \frac{Q}{C}+L\frac{\dd I}{\dd t}=0$

[danielandresbru]

Re: Formula osclador ármonico elctro-magnético

Gracias arivasm