Secundaria Comparativa entre dos péndulos con lenteja cargada, dentro de un campo eléctrico

[Marcos Castillo]

Hola
He hecho unos cálculos que quiero exponer. El ejercicio es este:
"Dos péndulos de longitudes $I_1$ y $I_2=2I_1$ se encuentran dentro de un campo eléctrico horizontal $\vec{E}$. Del primero cuelga una pequeña bola de masa $m_1$ y carga $q_1$, y del segundo cuelga una bola de masa $m_2=2m_1$, y carga $q_2=2q_1$. En la situación de equilibrio
a) el primer péndulo está menos inclinado que el segundo;
b) el primer péndulo está más inclinado que el segundo;
c) la inclinación de ambos péndulos es la misma;
d) que se dé a), b) o c) depende de la intensidad del campo $\vec{E}$."

La situación de equilibrio del primer péndulo se da cuando $\left.\begin{array}{c}T_x=F_{el}\\T_y=P\end{array}\right\rbrace$, siendo $T_x$ y $T_y$ las componentes horizontal y vertical del vector $\vec{T}$, y $P$ y $F_{el}$ los módulos de $\vec{P}$, el peso de la bola, y $F_{el}$ el módulo del vector $\vec{F}_{el}$, opuesto a $\vec{T}$ en su componente horizontal. Por lo tanto puedo afirmar $\left.\begin{array}{c}T\sin{\theta}=Eq_1\\T\cos{\theta}=m_1g\end{array}\right\rbrace$, o $\left.\begin{array}{c}2\pi\sqrt{I_1/g}\sin{\theta}=Eq_1\\2\pi\sqrt{I_1/g}\cos{\theta}=m_1 g\end{array}\right\rbrace$; dividiendo, $\tan{\theta}=\dfrac{Eq_1}{m_1g}$.
La situación de equilibrio del segundo péndulo son $\left.\begin{array}{c}2\pi\sqrt{2I_1/g}\sin{\theta}=2Eq_1\\2\pi\sqrt{2I_1/g}\cos{\theta}=2m_1 g\end{array}\right\rbrace$; dividiendo, da el mismo resultado que el primer péndulo, $\tan{\theta}=\dfrac{Eq_1}{m_1g}$.
¿La respuesta correcta es la c), entonces?; ¿la fórmula del módulo de la tensión es $T=2\pi\sqrt{L/g}$?.
¡Un saludo!

[Richard R Richard]

Hola Marcos, el pendulo no se esta moviendo, no tienes que relacionar nada con el periodo del péndulo cuya representación es $T=2\pi\sqrt{L/g}$ , no es $T$ de tensión sino una $T$ de tiempo de un ciclo.

solo tienes que comparar el angulo $\theta$ entre las dos situaciones que has calculado con la tangente. El modulo de la tensión varia.. pero lo hará el angulo $\theta ?$

la fuerza eléctrica horizontal es proporcional a la carga y el peso en la vertical proporcional a la masa , si al duplicar la masa y la carga el angulo se mantiene constante entonces la respuesta es la c) compruebalo..

[JCB]

Hola a tod@s.

Marcos Castillo: has llegado a la conclusión correcta ($\theta_1=\theta_2$), pero como dice Richard, la tensión no es la que tú indicas. En cada péndulo, el módulo de la tensión es

$T_1=\sqrt{T_x^2+T_y^2}=\sqrt{q^2E^2+m^2g^2}$,

$T_2=\sqrt{T_x^2+T_y^2}=\sqrt{4q^2E^2+4m^2g^2}=2\sqrt{q^2E^2+m^2g^2}=2T_1$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Por cierto, el período de oscilación también es el mismo...

[Richard R Richard]

Aclaro algo mas la respuesta no es d) tampoco porque analizando la relación


$1=\dfrac{\tan\theta_1 }{\tan\theta_2}=\dfrac{\dfrac{Eq_1}{m_1g}}{\dfrac{E2q_1}{2m_1g}}$

se ve que los ángulos seguirán siendo iguales aun variando la gravedad que afecta a las dos masas y el estando sometidos distintas intensidades del mismo campo ambas cargas-

[Marcos Castillo]

He confundido $\vec{T}$ con $T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$. Pero, ¿cómo se relaciona la longitud de la cuerda con la tensión?. $\vec{T}=m\vec{g}\cos{\theta}$. Por otra parte $\theta=\dfrac{s}{L}$. Sustituyendo, el módulo de la tensión es $T_y=mg\cos{\dfrac{s}{L}}$, y $T_x=mg\sin{\dfrac{s}{L}}$. En el caso del primer péndulo nada cambia. En el caso de $T_y=mg\cos{\dfrac{s}{2L}}$, y $T_x=mg\sin{\dfrac{s}{2L}}$, el ángulo es la mitad en el segundo péndulo, pero tampoco nada cambia. El cociente no cambia en ambos casos. Vamos, que el dato de la longitud de los dos péndulos, en mi opinión, es irrelevante.

[JCB]

Hola a tod@s.

Creo que te has vuelto a complicar. En tu mensaje # 1, ya habías escrito bien el planteo (excepto en añadir la expresión del período T). Para simplificar, establezco

$m_1=m$, $m_2=2m$, $q_1=q$, y $q_2=2q$.

También supongo que las líneas del campo eléctrico horizontal, van de izquierda a derecha.

Para el primer péndulo

$\sum{F_x}=0$,

$-T_x+qE=0$,

$T_x=qE$.

$\sum{F_y}=0$,

$T_y-mg=0$,

$T_y=mg$.

$\theta_1=\arctan\dfrac{T_x}{T_y}=\arctan\dfrac{qE}{mg}$.

De la misma manera y para no repetirme, llegas a que $\theta_2=\arctan\dfrac{2qE}{2mg}=\arctan\dfrac{qE}{mg}$.

Luego $\theta_1=\theta_2$.

La longitud del péndulo no es determinante, pues las expresiones de $\theta_1$ y de $\theta_2$, no dependen de la longitud.

La expresión vectorial de la tensión es $\vec{T}=-T_x\vec{i}+T_y\vec{j}$. El módulo ya lo indiqué en mi mensaje # 3.

Nota: las expresiones $\vec{T}=m\vec{g}\cos{\theta}$, $T_x=mg\sin{\dfrac{s}{L}}$, y $T_y=mg\cos{\dfrac{s}{L}}$ de tu mensaje # 6, no me parecen correctas.

Saludos cordiales,
JCB.

[Marcos Castillo]

La longitud del péndulo no es determinante, pues las expresiones de $\theta_1$ y de $\theta_2$, no dependen de la longitud.

Perfecto, entendido. Había sacado de contexto el cálculo de $\vec{T}$ en el estudio de un M.A.S. Un saludo, JCB, RRR, AI2000.