Otras carreras Problema superficies esféricas

[Bersaglieri412]

Buenas noches

Me encuentro de nuevo ante un problema que se resolver parcialmente o en el que al menos no coincido con las soluciones que se me dan. El problema es el siguiente:

"Dos superficies esféricas concéntricas, de espesor despreciable
y radios R1 y R2 , se conectan a tierra y a un potencial V2
respectivamente, tal como indica la figura. a) Calcular la carga que
adquiere cada esfera Q1 y Q2 en función de R1 , R2 y V2 . b) Si
se conecta a tierra la esfera exterior desconectando de tierra la
esfera interior, calcular el nuevo potencial de la esfera interior V1."

Me proporciona además la imagen que adjunto y la solución que me a Q2 es la que no me cuadra; sería: Q2= K((R2^2)/(R2-R1))

Muchas gracias por adelantado

[Al2000]

De nuevo, lo más sencillo es usar el principio de superposición, partiendo de que conoces el potencial de una cáscara esférica:

$$V_{(r)} =<br /> \left \{\begin{matrix}<br /> \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q R, & 0 \leqslant r \leqslant R \\<br /> \\<br /> \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q r, & R \leqslant r < \infty<br /> \end{matrix}\right .<br />$$

Determinar el potencial de cada cáscara superponiendo el potencial que tendría cada una por separado:

-- Potencial cáscara 1 = potencial debido a su propia carga + potencial debido a la cáscara 2: $\dst V_1 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac {Q_1}{R_1} + \frac {Q_2}{R_2}\right)$
-- Potencial cáscara 2 = potencial debido a la cáscara 1 + potencial debido a su propia carga: $\dst V_2 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac {Q_1}{R_2} + \frac {Q_2}{R_2}\right)$

Lo que resta ahora es aplicar las condiciones indicadas en cada caso y resolver para las incógnitas

Para el caso a) se establece que la cáscara 1 está conectada a tierra ($V_1 = 0$) y que la cáscara 2 se conecta a un potencial conocido ($V_2 \to \text {conocido}$), luego se determinan $Q_1$ y $Q_2$ resolviendo el sistema de 2 x 2.

Para el caso b) usa tu criterio para determinar que es lo que quiere decir el enunciado. Si lo interpreto tal cual lo leo, yo concluiría que las cargas finales son cero en ambas cáscaras (conectar a tierra la cáscara 2 y luego desconectar la cáscara 1). Pero probablemente lo que hay que interpretar es que se desconecta primero la cáscara 1 y luego se conecta a tierra la cáscara 2.

Interpretando la pregunta de esta manera, las nuevas condiciones serían que la cáscara 1 queda cargada con la carga del inciso anterior y la cáscara 2 queda a potencial cero, De nuevo quedan dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve para $V_1'$ y $Q_2'$.

Échale piernas y si no obtienes algo razonable, pregunta de nuevo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Bersaglieri412]

De nuevo, lo más sencillo es usar el principio de superposición, partiendo de que conoces el potencial de una cáscara esférica:

$$V_{(r)} =<br /> \left \{\begin{matrix}<br /> \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q R, & 0 \leqslant r \leqslant R \\<br /> \\<br /> \dst \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q r, & R \leqslant r < \infty<br /> \end{matrix}\right .<br />$$

Determinar el potencial de cada cáscara superponiendo el potencial que tendría cada una por separado:

-- Potencial cáscara 1 = potencial debido a su propia carga + potencial debido a la cáscara 2: $\dst V_1 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac {Q_1}{R_1} + \frac {Q_2}{R_2}\right)$
-- Potencial cáscara 2 = potencial debido a la cáscara 1 + potencial debido a su propia carga: $\dst V_2 = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac {Q_1}{R_2} + \frac {Q_2}{R_2}\right)$

Lo que resta ahora es aplicar las condiciones indicadas en cada caso y resolver para las incógnitas

Para el caso a) se establece que la cáscara 1 está conectada a tierra ($V_1 = 0$) y que la cáscara 2 se conecta a un potencial conocido ($V_2 \to \text {conocido}$), luego se determinan $Q_1$ y $Q_2$ resolviendo el sistema de 2 x 2.

Para el caso b) usa tu criterio para determinar que es lo que quiere decir el enunciado. Si lo interpreto tal cual lo leo, yo concluiría que las cargas finales son cero en ambas cáscaras (conectar a tierra la cáscara 2 y luego desconectar la cáscara 1). Pero probablemente lo que hay que interpretar es que se desconecta primero la cáscara 1 y luego se conecta a tierra la cáscara 2.

Interpretando la pregunta de esta manera, las nuevas condiciones serían que la cáscara 1 queda cargada con la carga del inciso anterior y la cáscara 2 queda a potencial cero, De nuevo quedan dos ecuaciones con dos incógnitas. Resuelve para $V_1'$ y $Q_2'$.

Échale piernas y si no obtienes algo razonable, pregunta de nuevo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

¡Muchísimas gracias!

Gracias a sus respuestas he conseguido saber responder el resto de los problemas de este estilo "cebolla".