Otras carreras Parte imaginaria de la impedancia

[danielandresbru]

Hola, quisiera saber de donde sale que la reactancia es la parte imaginaria de la impedancia. Por ejemplo, estaba tratando de ver de donde sale que en un circuito en que solo hay una fuente de corriente alterna y un capacitador, la reactancia capacitiva es imaginaria.

Si parto de que la tensión en el circuito esta dada por $\varepsilon =\varepsilon_{max} \sin(\omega t)$, como tnengo que la caida de tensión en el capacitador es $\varepsilon=\displaystyle \frac QC$ , entonces $Q =C \varepsilon_{max} \sin(\omega t)$ e $C \omega \varepsilon_{max} \cos(\omega t)$.
Como tengo que $Z=\displaystyle \frac \varepsilon I$ entonces $Z=\displaystyle \frac {\tan(\omega t)}{\omega C}$. Pero no sé como se llega a la conclusión de de que la reactancia capacitiva es imagiaria. Muchas gracias de antemano

[alexpglez]

Re: Parte imaginaria de la impedancia

Lo que escribes, está correcto, excepto que supongo que quieres escribir $I=C\omega \epsilon_{max} \cos \omega t$
El problema está en lo siguiente:

Como tengo que $Z=\displaystyle \frac \varepsilon I$ entonces $Z=\displaystyle \frac {\tan(\omega t)}{\omega C}$. Pero no sé como se llega a la conclusión de de que la reactancia capacitiva es imagiaria. Muchas gracias de antemano

Es que no puedes mezclar dos cosas, la parte instantánea, con el análisis complejo. Llamaré $I'$, $U'$, $Z$ a las variables complejas, y $I$ y $U$ a las variables instantáneas (que son reales).
Tenemos entonces que:

$$U(t)=Im \{ U'(t) \}$$

$$I(t)=Im \{ I'(t) \}$$

Y:

$$U'(t)=Z I'(t)$$

Pero esta ecuación no es igual a:

$$U(t)=Z I(t)$$

Lo que quiere decir que no puedes hacer lo que hiciste en tu anterior mensaje. (Fíjate que mientras que U y I son reales, Z es complejo, luego no es correcta la anterior relación... siendo únicamente correcta cuando es 100 % resistivo el circuito)

[Julián]

Re: Parte imaginaria de la impedancia

como tnengo que la caida de tensión en el capacitador es

Esa caida de tensión es en el régimen permanente continuo.

$\dst V = Q / C$ donde la carga es: $\dst Q = {\int}_{0}^{t} i(t) dt$ donde $i(t)$ es la corriente en función del tiempo.

$\dst v (t) = q(t) \frac{1}{C} = \frac{1}{C} {\int}_{0}^{t} i(t) dt$

si trabajamos con señales armónicas, $i(t) = I sen (\omega t)$

$\dst v (t) = q(t) \frac{1}{C} = \frac{1}{C} {\int}_{0}^{t} I sen (\omega t) dt$

Pero podemos facilitar los cálculos y en vez de trabajar con integrales en el tiempo podemos utilizar fasores, donde ${e}^{j \omega t}) = cos (\omega t) + j sen (\omega t)$ (relación de euler)

Por lo que el seno es la parte imaginaria de ${e}^{j \omega t}$

De esta manera podemos utilizar ${e}^{j \omega t}$, tabajar con este y luego volver a trasnformar al seno

$\dst v(t) =\frac{1}{C} {\int}_{0}^{t} I {e}^{j \omega t} dt = \frac{I}{j \omega C} {e}^{j \omega t}$

Observa la relacion entre las señales $\dst i(t) = I {e}^{j \omega t}$ y $\dst v(t) = \frac{I}{j \omega C} {e}^{j \omega t}$

Por lo tanto se define la impedancia como $\dst \frac{V}{I} = \frac{\frac{I}{j \omega C} {e}^{j \omega t} }{I {e}^{j \omega t} }= \frac{1}{j \omega C }$

volviendo al diagrama temporal $\dst v(t) = Im( I \frac{1}{j \omega C} {e}^{j \omega t}) = \frac{I}{\omega C} sen (\omega t - \frac{\pi}{2})$

Así que la reactancia capacitiva es imaginaria solamente en los cálculos fasoriales. Y es imaginaria ya que un factor que tenga la unidad imaginaria, lo que produce en ${e}^{j \omega t}$ es un desfasaje de 90º. Al hablar de impedancia estás hablando de la relación entre tensión y corriente y las capacitancias y inductancias no modifican solamente la amplitud entre estas sino que también su fase. Y los números complejos son un cuerpo algebraico que tienen módulo y fase y que permiten operaciones básicas como la adicción, el producto y la potencia. De esta manera se trabaja más cómodo. En el diagrama temporal, donde se utilizan funciones reales la impedancia, por ejemplo capacitiva queda definida por el funcional que es la integración.

Pero no sé como se llega a la conclusión de de que la reactancia capacitiva es imagiaria.

¿por qué se trabaja con ${e}^{j \omega t}$ en vez de las funciones reales como el seno o coseno. Pues porque las ecuaciones diferenciales, que tienen derivadas o integrales se transforman en simples ecuaciones algebraicas. Pero una vez resuelta la ecuación diferencial para encontrar la respuesta temporal debes antitransformar. Es facil si las señales son senos o cosenos pero ante señales más complejas es necesario el desarrollo en serie de fourrier o la transformada de laplace.

[alexpglez]

Re: Parte imaginaria de la impedancia

No quería meterme en cosas como el por qué, ya que es meterse de lleno en la resolución de ecuaciones diferenciales y en tu nivel viene escrito secundaria. Pero ya que Julián ha empezado, por completar un poco explico.
Imaginemos un circuito serie, con resistencia, bobina y capacitador y una fuente de alimentación. Sabemos que la caída de tensión en la resistencia es $U(t)=RI(t)$ y en el condensador $U=\frac{Q}{C}=\frac{1}{C}\int_{t_0}^t I(t') dt'$, la fuerza electromotriz en la bobina es $U(t)=-N\frac{d \Phi}{dt}=-L\frac{dI(t)}{dt}$, y la fuerza electromotriz de la fuente $U(t)$.
Entonces la ecuación diferencial del circuito, aplicando la ley de Ohm, es:

$$U(t)-L\frac{dI(t)}{dt}=RI(t)+\frac{1}{C}\int_{t_0}^t I(t') dt'$$

O sea:

$$U(t)=RI(t)+\frac{1}{C}\int_{t_0}^t I(t') dt' +L\frac{dI(t)}{dt}$$

O para la función de Q(t):

$$U(t)=R\frac{dQ(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C} +L\frac{d^2Q(t)}{dt^2}$$

De la teoría de ecuaciones diferenciales, sabemos que la solución va a ser la suma de una solución particular y una solución general homogénea (sin fuentes, con U=0).
La solución general a la homogénea se puede despreciar, ya que va a ir decreciendo por el efecto de la resistencia, $I_{g}=A \cos (\omega_0 t + \phi_0) e^{-kt}$ con cierta k proporcional a la resistencia.
Y para la solución particular (trabajando en corriente alterna) podemos hacer $U(t)=U_{max} \sin (\omega t+ \phi_0)=Im\{ U_{max}e^{j \phi_0} e^{j\omega t} \}$

Como la parte imaginaria de la derivada, es lo mismo que la derivada de la parte imaginaria (que puedes comprobar con cálculos extremadamente simples, también se cumple para integrar y para la parte real), podemos trabajar con números complejos (los designaré con primas) $U'=U e^{j \omega t}=U_{max} e^{i \phi}e^{i \omega t}$
Luego buscando una solución particular $I'=I e^{i \omega t}$ ó $Q'=Qe^{i \omega t}$ tenemos que sustituyendo en sus respectivas ecuaciones diferenciales y ya derivando:

$$U e^{j \omega t}=(R+j\omega L-\frac{j}{\omega C}) I e^{j \omega t}$$

Que sólo se cumple si:

$$U =(R+j\omega L-\frac{j}{\omega C}) I$$

Ó para Q:

$$U =(j\omega R-\omega^2 L+\frac{1}{C}) Q$$

No te expongo todos los detalles, porque sería muy largo, pero si quieres, te lo podemos detallar.

Saludos

- - - Actualizado - - -

PD: Por este razonamiento, se extrae todo el análisis en alterna con complejos, el por qué llamar Z a la impedancia, la suma compleja de todo lo que viene entre paréntesis, y las potencias activa, reactiva y total como la media de la potencia total, la potencia fluctuante, y un término extrae que contiene la información de las 2 potencias.

[danielandresbru]

Re: Parte imaginaria de la impedancia

Hola alexpglez, cuando dices , $U$ es $U(t)$?, y si me sería de gran ayuda (y si puedes claro) verlo un poco más detallado

[alexpglez]

Re: Parte imaginaria de la impedancia

Hola alexpglez, cuando dices , $U$ es $U(t)$?, y si me sería de gran ayuda (y si puedes claro) verlo un poco más detallado

$$U=U_{max} e^{i \phi}$$

$$U(t)=U_{max} \sin (\omega t + \phi)$$

$$U'(t)=Ue^{j\omega t}$$

Estas son los símbolos que he utilizado.

Es que no sé que nivel tienes, puedo recomendarte alguna lectura si quieres, y ya verlo tú entero, y ya aquí o en otro hilo te ayudamos con las dudas.

Me estaba acordando del primer tomo del curso de Landau, el cuál tiene un apartado que lo dedica a las vibraciones forzadas, que tienen las mismas ecuaciones que las de electricidad y lo explica muy bien. Busco exactamente donde era y escribo, aunque en internet esto vendrá por alguna parte.

[danielandresbru]

Re: Parte imaginaria de la impedancia

alexpglez me parce bien