1r ciclo Fuerza entre las placas de un condensador

[Alofre]

Buenos días, tenía una duda en relación al efecto que tiene sobre la fuerza entre las placas de un condensador la introducción de un dieléctrico de permitividad $\varepsilon$. Me explico: mis apuntes afirman que "si el dieléctrico se introduce en un condensador a carga constante la fuerza disminuirá $F/\varepsilon_r$, mientras que si está a potencial constante (es decir, conectado a una batería, la fuerza aumentará $F \varepsilon_r$)". Bien, el problema reside en que yo he llegado a la conclusión de que ambas fuerzas son iguales, pues $F_V=- \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} V^2= - \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} \frac{\varepsilon A}{\varepsilon A} V^2= - \frac{1}{2} \frac{(\varepsilon A)^2}{d^2 \varepsilon A } V^2= - \frac{1}{2} \frac{C^2}{\varepsilon A } V^2 =- \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon A } =F_Q$ donde $F_V,F_Q$ son las expresiones de las fuerzas para un condensador a potencial o carga constante, respectivamente, tras la introducción de un dieléctrico.

Alguien podría aclararme donde está el error en el razonamiento? Muchísimas gracias!!!!

[Alriga]

$\dst F_V=- \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} V^2= - \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} \frac{\varepsilon A}{\varepsilon A} V^2= - \frac{1}{2} \frac{(\varepsilon A)^2}{d^2 \varepsilon A } V^2= - \frac{1}{2} \frac{C^2}{\varepsilon A } V^2 =- \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon A } =F_Q$

Recuerda que si pones \dst al inicio de la expresión en LaTeX ésta se ve mayor y mejor.

1) Parto de que tu expresión es correcta (no lo he comprobado)

$\dst F= \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} U^2$

Si tenemos una batería conectada al condensador de manera que U=cte y aumentamos el valor de epsilon la fuerza F aumentará puesto que epsilon está en el numerador.

Y simultáneamente el cociente

$\dfrac Q U=\varepsilon \dfrac A d$

También aumentará. Como la batería mantiene U constante, también ha aumentado la carga Q.

La capacidad C

$C=\varepsilon \dfrac A d$

También aumenta

2) Parto de que tu expresión es correcta (no lo he comprobado)

$\dst F= \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon A }$

Si ahora aumentamos Epsilon manteniendo la carga Q constante la fuerza F disminuye, ya que epsilon está en el denominador.

Y simultáneamente el cociente

$\dfrac Q U=\varepsilon \dfrac A d$

También aumentará. Si la carga Q es constante, eso conlleva que ha disminuido la tensión U.

La capacidad

$C=\varepsilon \dfrac A d$

También aumenta

Mira la tabla adjunta

A	1	1
d	1	1
U	1	1
Q	1	2
e	1	2
C	1	2
F	0,5	1
A	1	1
d	1	1
U	1	0,5
Q	1	1
e	1	2
C	1	2
F	0,5	0,25

En la parte superior aumento epsilon de 1 a 2 manteniendo U constante. Aumenta la fuerza, la carga y la capacidad. La secuencia de cálculos es:

$$\dst F= \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} U^2$$

$$C=\varepsilon \dfrac A d$$

$$Q=C\cdot U$$

En la parte inferior aumento epsilon de 1 a 2 manteniendo Q constante. Disminuye la fuerza y la tensión, aumenta la capacidad. La secuencia de cálculos es:

$$\dst F= \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon A }$$

$$C=\varepsilon \dfrac A d$$

$$U=\dfrac Q C$$

Saludos.

[Alofre]

Hola, muchas gracias por una respuesta tan completa. Lo único que no entiendo es como esto no se contradice con que ambas fuerzas deben de ser iguales, es decir, claramente has demostrado que no lo son (una aumenta y otra disminuye), no obstante sino me equivoco, la igualdad que escribí así parece indicarlo y no entiendo porqué.
Mil gracias!!

[Alriga]

Es que ambas funciones no son iguales La fuerza en función de épsilon para U constante:

$\dst F_u(\varepsilon)= \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} U^2$

Es una recta que pasa por el origen $\dst F_u(\varepsilon)=a\cdot \varepsilon$

Mientras que la fuerza en función de épsilon para Q constante:

$\dst F_q(\varepsilon)= \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon A }$

Es una rama de hipérbola equilátera $\dst F_q(\varepsilon)=b / \varepsilon$

Ambas funciones solo pueden coincidir en un punto. Si te sitúas en el punto común y entonces varías épsilon has de decidir si vas por la recta=tensión constante o vas por la hipérbola=carga constante

Saludos.

[Alofre]

Entiendo que el punto en el que coinciden es cuando no hay dieléctrico y $\varepsilon = \varepsilon_0$?

[Alriga]

Entiendo que el punto en el que coinciden es cuando no hay dieléctrico y $\varepsilon = \varepsilon_0$?

No. Coinciden en el punto que tu decidas que es de inicio de los cálculos. Te sitúas en ese punto (corresponde a la columna del centro de la tabla de arriba) y decides si aumentas epsilon manteniendo la tensión constante, lo que te obliga a aplicar (tabla arriba derecha)

$$\dst F= \frac{1}{2} \frac{\varepsilon A}{d^2} U^2$$

$$C=\varepsilon \dfrac A d$$

$$Q=C\cdot U$$

O bien decides si aumentas epsilon manteniendo la carga constante, lo que te obliga a aplicar (tabla abajo derecha)

$$\dst F= \frac{1}{2} \frac{Q^2}{\varepsilon A }$$

$$C=\varepsilon \dfrac A d$$

$$U=\dfrac Q C$$

Otro ejemplo:

	Situación inicial	Aumento de epsilon a Tensión constante
A	4	4
d	1	1
U	12	12
Q	36	144
e	0,75	3
C	3	12
F	216	864
	Situación inicial	Aumento de epsilon a Carga constante
A	4	4
d	1	1
U	12	3
Q	36	36
e	0,75	3
C	3	12
F	216	54

Saludos.

PD. Me ha recordado a este hilo Me enredé con un sistema de ecuaciones elemental

[Alofre]

Entiendo, muchas gracias!!!