Otras carreras Trabajo por un campo magnético

[NikolaT]

Hola chicos, en clase estamos viendo lo relacionado con los campos magnéticos y hace un par de clases demostramos que el trabajo realizado por el campo magnético sobre una carga es cero. Lo que no entiendo es: ¿si el trabajo es cero porqué cambia la dirección del movimiento de la carga (sigue una trayectoría circular) y qué pasa con la conservación del momento angular? Osea, de dónde aparecen los torques necesarios para cambiar la trayectoría de la partícula

Saludos y gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Trabajo por un campo magnético

Hola chicos, en clase estamos viendo lo relacionado con los campos magnéticos y hace un par de clases demostramos que el trabajo realizado por el campo magnético sobre una carga es cero. Lo que no entiendo es: ¿si el trabajo es cero porqué cambia la dirección del movimiento de la carga (sigue una trayectoría circular)

Para que una fuerza cambie (en realidad, contribuya, pues la que lo determina es la resultante) la dirección del movimiento de una partícula, simplemente basta con que forme un ángulo diferente de 0 o 180º con la velocidad. Es decir, que tenga componentes no tangenciales. Recuerda la 2ª ley de Newton: si sucede así con la resultante entonces la aceleración no será paralela a la velocidad; como la aceleración expresa el ritmo de cambio de esta última, la trayectoria no será rectilínea.

Por tanto, como la parte magnética de la fuerza de Lorentz, si es no nula, es perpendicular a la velocidad, contribuye exclusivamente a que la partícula posea aceleración centrípeta y nada a que la posea tangencial.

y qué pasa con la conservación del momento angular?

Nada especial: para que se conserve el momento angular respecto de un punto es necesario que la fuerza resultante posea momento nulo respecto de dicho punto. En el caso de la fuerza magnética si no hay otras fuerzas (y entonces es la resultante) el momento angular de la partícula se conservará o no, dependiendo de cómo sea el campo magnético:

• Si el campo es uniforme, y forma con la velocidad un ángulo de 0 o 180º en un instante cualquiera, dicho ángulo continuará siéndolo en todo instante: el movimiento será rectilíneo y uniforme y se conservará el momento angular respecto de cualquier punto del espacio (pues la fuerza resultante es nula).
• Si el campo es uniforme, el el ángulo anterior es de 90º continuará siéndolo en instantes posteriores: la trayectoria será una circunferencia y se conservará el momento angular sólo respecto del centro de la misma.
• En cualquier otro caso (otro ángulo o campo no uniforme), no se conservará el momento angular respecto de punto alguno.

Osea, de dónde aparecen los torques necesarios para cambiar la trayectoría de la partícula

Quizá "cambiar la trayectoria" no es el término correcto. Por ejemplo, en el segundo caso que mencioné el campo magnético no cambia la trayectoria, pues constantemente será circular.

Supongo que te refieres a algo así como "torcer" la trayectoria.

Entonces hay que aclarar que no es verdad que haga falta torque para que haya trayectorias no rectilíneas. Recuerda la 2ª ley de la dinámica de la rotación aplicada a una partícula: $\vec M=I\vec \alpha$ (con el momento de la fuerza resultante, el de inercia $I=mr^2$, y la aceleración angular calculados respecto de un punto en reposo en un sistema de referencia inercial). El que sea $\vec M=\vec 0$ no conduce a velocidad angular nula, sino constante.

[NikolaT]

Re: Trabajo por un campo magnético

Hola arivasm, muchas gracias por la respuesta, ahora me queda más claro algunos aspectos y entiendo que esto suceda estando dentro del campo. Lo que no entiendo es lo que sucede cuando partícula cargada "entra" a una zona donde hay un campo magnético suponiendo que no actúan más fuerzas y por lo tanto la partícula entra al campo siguiendo una trayectoria rectilinea. ¿En este caso, el trabajo que realiza el campo magnético sobre la carga también sería cero? Porque de algún lado tiene que salir la energía necesaria para modificar la trayectoria de la partícula y según mi profesor, el trabajo en ambos casos es cero así que no sé si estoy fallando en algún concepto o simplemente no entiendo.

Saludos y gracias de nuevo

[alexpglez]

Re: Trabajo por un campo magnético

Hola, el trabajo realizado por la partícula en el campo magnético es 0. La demostración es calcular la integral curvilínea:

$$\int_l \vec F \cdot d \vec r=\int_{t_0}^{t_1} (\vec v \times \vec B) \cdot \vec v dt=0$$

Ya que el integrando es 0, porque por definición de ambos productos:

$$(\vec a \times \vec b) \cdot \vec a=0$$

Tu argumento tiene una falacia, al ser el trabajo 0, la energía se conserva:

$$E=\frac{1}{2}mv^2=cte \;\;\; v=cte$$

Es decir, la velocidad es la misma en módulo si la energía cinética se conserva, pero eso no significa que la velocidad no pueda cambiar de dirección, la única condición a ese cambio de dirección es que no modifique el módulo de la velocidad.

PD: los cálculos en relatividad son parecidos:

$$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\;\;\; v=c\sqrt{1-\frac{m^2c^4}{E^2}}$$

Y como la energía es constante, el módulo de la velocidad también.

[arivasm]

Re: Trabajo por un campo magnético

Complementando la respuesta de Álex

Lo que no entiendo es lo que sucede cuando partícula cargada "entra" a una zona donde hay un campo magnético suponiendo que no actúan más fuerzas y por lo tanto la partícula entra al campo siguiendo una trayectoria rectilinea. ¿En este caso, el trabajo que realiza el campo magnético sobre la carga también sería cero?

Sí. La fuerza magnética siempre realiza un trabajo nulo. En todos los casos.

Porque de algún lado tiene que salir la energía necesaria para modificar la trayectoria de la partícula

Aquí tienes un error de concepto que debes pulir. El trabajo que se realiza sobre una partícula no guarda relación con la forma de la trayectoria. No hace falta trabajo para curvar la trayectoria de una partícula, sino una fuerza resultante que forme algún ángulo diferente de 0 o 180º con la velocidad. Dicho de otra manera: que tenga una componente que "empuje de lado".

El trabajo guarda relación con la parte de la fuerza que empuja tangencialmente. De hecho el papel que juega el coseno del ángulo entre fuerza y $\dd\vec r$ en la definición de trabajo es justamente ése: quedarse con la parte de la fuerza que tiene la dirección de la velocidad (o, si lo prefieres, de la porción infinitesimal de trayectoria que consideremos en el cálculo del trabajo infinitesimal correspondiente). De esta manera, el trabajo que realiza una fuerza tiene que ver, en realidad, con la variación del módulo de la velocidad de la partícula. Dicho de manera sencilla: con hacerla correr más rápido o más lento.

Una guía buena para tener esto claro es el teorema de la energía cinética: el trabajo total que se realiza sobre una partícula (suma de los trabajos que hacen las diferentes fuerzas, o el que realiza la fuerza resultante -la suma de las fuerzas-) es igual a lo que cambia la energía cinética de la misma.

En definitiva, la fuerza asociada con el campo magnético empuja de lado, pero sin aportar energía alguna a la partícula: no sirve para hacerlas correr más rápido o más lento, sólo para torcer sus trayectorias.

Terminaré comentándote que la situación es, hasta cierto punto*, semejante al caso del Sol y un planeta en órbita circular: la fuerza gravitacional curva la trayectoria, pero sin realizar trabajo sobre el planeta.

*Por supuesto la comparación no la podemos llevar demasiado lejos: la fuerza gravitacional sí puede realizar trabajo (no en órbitas circulares, pero sí en las de otro tipo).

[NikolaT]

Re: Trabajo por un campo magnético

Hola chicos, perdón por la demora al responder, pero estoy en finales y ando hecho un lio.

Muchas gracias por responder, mi error estaba en que pensaba que para torcer la trayectoria de una partícula era necesario realizar trabajo sobre la partícula, por eso aunque entiendo la demostración matemática, me costaba comprender lo que sucedía. Ya me queda mucho más claro.

Saludos y gracias de nuevo.