Otras carreras Caida de tensión, Intensidad e Impedancia en circuito RC con corriente continua

[danielandresbru]

Hola, últimamente he tenido muchas dudas respecto a este tema. Si tengo que la tensión que produce el generador de CA es $V=V_0 \sin(\omega t)$, al ser un circuito RC tengo que $V_0 \sin(\omega t)=\displaystyle \frac{Q(t)}C + Q'(t)R$, esta ecuación diferencial me da $Q(t)=\displaystyle \frac{V_0C}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t)-\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t) +\Big(\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}+Q(0)\Big)e^{-\frac t{RC}}$, como $I(t)=\displaystyle \frac{dQ(t)}{dt}$, $V_R(t)=\displaystyle \frac{dQ(t)}{dt}R$ y $V_C(t)=\displaystyle \frac{Q(t)}{C}$, llego a que

$I(t)=\displaystyle \frac{V_0\omega C}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t)+\frac{V_0 \omega^2 RC^2}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t) -\frac 1{RC}\Big(\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}+Q(0)\Big)e^{-\frac t{RC}}$,
$V_R(t)=\displaystyle \frac{V_0\omega CR}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t)+\frac{V_0 \omega^2 R^2C^2}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t) -\frac 1{C}\Big(\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}+Q(0)\Big)e^{-\frac t{RC}}$,
Y $V_C(t)=\displaystyle \frac{V_0}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t)-\frac{V_0 \omega RC}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t) +\frac 1C \Big(\frac{V_0 \omega RC^2}{(\omega RC)^2+1}+Q(0)\Big)e^{-\frac t{RC}}$.


Pero ahora si digo $I(t)=\frac {V(t)}Z$ , siendo $Z= \sqrt{R^2+(\frac 1{\omega C})^2}$, llego que $I(t)=\displaystyle \frac {\omega CV_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\sin(\omega t)$ y si integro tengo que la carga en funcion del tiempo es $Q(t)=-\displaystyle \frac { CV_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\cos(\omega t)$, por lo que al ser $V_R(t)=\frac{dQ(t)}{dt}R$ y $V_C(t)=\frac{Q(t)}{C}$, me quedaría $V_C(t)=-\displaystyle \frac { V_0}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\cos(\omega t)$ y $V_R(t)=\displaystyle \frac {\omega CV_0 R}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}}\sin(\omega t)$.

La verdad veo que no se parecen mucholas expreiones $Q(t)$,$I(t)$,$V_R(t)$ y $V_C(t)$, y ademas se supone que el desfase de $V_C$ debería ser -90° con respecto a I, y el de $V_R$ 0°, pero no sé en donde se miro que se cumple ese desfasaje.
Agradecería mucho si me pudieses explicar que es mas correcto y que lo que estoy haciendo mal, o si sabeis de algun sitio donde explican esto mas detalladamente.
Muchas gracias de antemano

[Julián]

Re: Caida de tensión, Intensidad e Impedancia en circuito RC con corriente continua

Al parecer las expresiones de la corriente y las caidas de tensiones en el resistor y capacitor están bien.

y ademas se supone que el desfase de debería ser -90° con respecto a I, y el de 0°, pero no sé en donde se miro que se cumple ese desfasaje.

Fijate en la expresión de la corriente o en la caida de la resistencia, donde tienes seno en el capacitor tienes coseno y donde tienes seno tienes menos coseno. Ahí hay una diferencia de fase de 90º.

Pero ahora si digo , siendo , llego que y si integro tengo que la carga en funcion del tiempo es , por lo que al ser y , me quedaría y .

Acá estás mezclando el análisis fasorial con el análisis temporal. Está mal poner que $i(t) = \frac{v(t)}{Z}$ ya que la expresión que relaciona la corriente y la tensión en el tiempo para un circuito RC es:

$v(t) = i(t) R + \frac{1}{C} {\int}_{{t}_{0}}^{t} i(t) dt$

Ahora trabajando con fasores, la expresión que relaciona la corriente y la tensión es:

$\bar{V} = \bar{I} R + \frac{1}{j \omega C} \bar{I}$.

Donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $\bar{I}$ son números complejos y $Z = R - j \frac{1}{\omega C}$ también lo es.

Es decir son modelos matemáticos diferentes, uno es un modelo cuya variable independiente es el tiempo y el otro un modelo donde la variable es la frecuencia. Donde el desarrollo fasorial es un caso particular de la trasnsformada de fourrier (ya que los elementos lineales como resistencias, capacitores e inductores modificarán solamente la amplitud o fase de las señales).
El modelo temporal es siempre útil, en cambio trabajar con la frecuencia solo es posible si los elementos son lineales. A su vez en el diagrama de la frecuencia no se tiene en cuenta el transistorio sino el régimen permanente, cosa que en el diagrama temporal se obtiene una solución tanto para el transistorio como para el régimen permanente. Si quieres analizar tanto el transistorio como el régimen permanente debes usar la frecuencia compleja, es decir, realizar la transformada de laplace, resolver y antitrasnformar.

Por cierto al trabajar en el diagrama frecuencial, tanto con la frecuencia o frecuencia compleja una vez obtenida la solución, debes antitransformar para tener el resultado en el tiempo que es casi siempre lo que importa, salvo que analices el comportamiento en la frecuencia de las señales.

[danielandresbru]

Re: Caida de tensión, Intensidad e Impedancia en circuito RC con corriente continua

Muchas gracias Julian, pero todavía no entiendo lo deldesfase. Si por ejemplo omito la parte exponencial (suponiendo que ha pasado un tiempo suficientemente grande, creo que a esto es lo que se le llama régimen estacionario) llego a que:
$I(t)=\displaystyle \frac{V_0\omega C}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t)+\frac{V_0 \omega^2 RC^2}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t)$ y
$V_C(t)=\displaystyle \frac{V_0}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t)-\frac{V_0 \omega RC}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t)$
$V_C(t)=\displaystyle \frac 1{\omega C} \Bigg (\frac{V_0 \omega C}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t)-\frac{V_0 \omega^2 RC^2}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t) \Bigg)$
$V_C(t)=\displaystyle \frac 1{\omega C} \Bigg (\frac{V_0 \omega C}{(\omega RC)^2+1}\cos(\omega t - \frac \pi 2)+\frac{V_0 \omega^2 RC^2}{(\omega RC)^2+1}\sin(\omega t- \frac \pi 2) \Bigg)$
o tambén
$I(t)=\displaystyle \frac{V_0\omega C}{(\omega RC)^2+1} \Bigg(\cos(\omega t)+\omega RC\sin(\omega t) \Bigg)$
$V_C(t)=\displaystyle \frac{V_0}{(\omega RC)^2+1} \Bigg (\sin(\omega t)-\omega RC \cos(\omega t) \Bigg )$

Aunque las expresiones se parecen mucho no sé como se llega a que el desfase es: $\varphi=\displaystyle \arctan\Big (\frac{{\chi}_{C}}{R} \Big )=\arctan\Big (\frac 1{\omega CR} \Big )$, es que creo que me falta una relación trigonometrica para obtener una relación con la que pueda dejar $I(t)$, y $V(t)$ como expresiones $I(t)=I' \sin(\omega t+\theta)$, y $V(t)=V(t)=V'\sin(\omega t + \phi)$, para luego hay ver el desfase



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Si por ejemplo hallo un corte con el eje x de ambos funciones y las resto tendré el desfase .
Entonces el corte de:
$I(t)$: $\cos(\omega t)+\omega RC \sin(\omega t)=0$, $t=- \displaystyle \frac {arctan(\frac 1{\omega RC})}{\omega}$
$V_C(t)$: $\sin(\omega t)-\omega RC \cos(\omega t)=0$, $t= \displaystyle \frac {arctan(\omega RC)}{\omega}$

Si resto ambas llego a que el angulo de desfase entre $V_C$ e $I$ es $\varphi=\displaystyle \frac {arctan(\omega RC)+\arctan(\frac 1{\omega RC})}{\omega}$ pero no le veo la relación con $\varphi=\displaystyle \arctan\Big (\frac 1{\omega CR} \Big )$

[Julián]

Re: Caida de tensión, Intensidad e Impedancia en circuito RC con corriente continua

Si por ejemplo omito la parte exponencial (suponiendo que ha pasado un tiempo suficientemente grande, creo que a esto es lo que se le llama régimen estacionario)

Correcto.

Aunque las expresiones se parecen mucho no sé como se llega a que el desfase es: , es que creo que me falta una relación trigonometrica para obtener una relación con la que pueda dejar , y como expresiones , y , para luego hay ver el desfase

Nuevamente estás mezclando los análisis. es un análisis fasorial, donde el argumento (diferencia de fase) es el arcotangente de la parte imaginaria sobre la parte real.

Quieres ver como se hace con el análisis en la frecuencia, pues bien. Sea $v(t)$ y $i(t)$ señales en el tiempo, su correspondiente transformada de fourier es $V(j \omega)$ y $I(j \omega)$
Donde el circuito está dado por:

$\dst V(j \omega) = I(j \omega) (R - j \frac{1}{\omega C})= I(j \omega) (\frac{\omega C}{j \omega R C -1 })$, de esta manera la corriente es $\dst I(j \omega) = V(j \omega) \frac{\omega C}{j \omega R C -1 }= V(j \omega) \frac{- ( j \omega C + {\omega}^{2} R {C}^{2} )}{ {\omega}^{2} {R}^{2} {C}^{2} +1 }$

Si $v(t) = V sin ({\omega}_{0} t)$, su transformada de fourrier es: $V(j \omega) = \frac{V}{2 j} (-\delta(\omega + {\omega}_{0}) + \delta ({\omega}- {\omega}_{0}))$

Por lo que: $\dst I(j \omega) = (\frac{V}{2 j} (-\delta(\omega + {\omega}_{0}) + \delta ({\omega}- {\omega}_{0})) )\frac{- ( j \omega C + {\omega}^{2} R {C}^{2} )}{ {\omega}^{2} {R}^{2} {C}^{2} +1 }$

$\dst I(j \omega) = +\frac{V}{2 j} \frac{ ( j \omega C + {\omega}^{2} R {C}^{2} )}{ {\omega}^{2} {R}^{2} {C}^{2} +1 }\delta(\omega + {\omega}_{0}) -\frac{V}{2 j} \frac{ ( j \omega C + {\omega}^{2} R {C}^{2} )}{ {\omega}^{2} {R}^{2} {C}^{2} +1 }\delta ({\omega}- {\omega}_{0}))$

Donde el módulo de la tensión es $\left\vert{} V \right\vert{} = V$ y el de la corriente es $\left\vert{} I\right\vert{} = \sqrt{{{( \omega}^{2} R {C}^{2})}^{2} + {\omega C}^{2}}$

A su vez la fase de la tensión es: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y la fase de la corriente es: $\dst {\phi}_{I} = arctan(\frac{\omega C}{{\omega}^{2} R {C}^{2}}) = arctan (\frac{1}{\omega R C})$

Ves la diferencia entre el análisis temporal y el análisis frecuencial. Ahora si queres obtener la respuesta temporal de la corriente lo que hacemos es antitransformar la corriente y obtenemos



Cual es la diferencia, pues, si solo queremos conocer el módulo y la fase que relaciona la corriente y la tensión no necesitamos volver al tiempo, sino quedarnos en el diagrama frecuencial ya que:

$\dst Z = \frac{V(j \omega)}{ I(j \omega)} = \frac{1}{\frac{ ( j \omega C + {\omega}^{2} R {C}^{2} )}{ {\omega}^{2} {R}^{2} {C}^{2} +1 }} = R - j \frac{1}{\omega C}$

Donde el módulo de $Z$ indica la relación entre los módulos de V e I y la fase de $Z$ indica la diferencia de fase entre estas.

Sé que quizás es bastante para vos, pero debes conocer de donde sale esto. En sí puedes trabajar directamente en el diagrama temporal resolviendo las ecuaciones diferenciales. Pero el diagrama de la frecuencia da datos más fáciles de visualizar además de que te permite trabajar algebraicamente en vez de resolver ecuaciones diferenciales (como vez anteriormente llegé a la misma corriente pero sin resolver ninguna ecuación diferencial). En el diagrama temporal el desfasaje la dan las variaciones en las funciones senos y coseno.