Otras carreras Calcular la energía en una inductancia

[danielandresbru]

Hola he estado intentando estado intentando este problema, pero creo que lo he planteado mal. El problema dice:

Una inductancia de 20 mH se conecta a una salida alterna de voltaje eficaz 220 V y frecuencia 50 Hz. Calcular la energía magnética almacena en la bobina en un tiempo t=1/150 s, sabiendo que en t=0 la energía almacenada es de 0 J.

Yo lo que hice fue que como tengo un circuito RL, $\displaystyle L \frac{dI}{dt}=V_0 \sin(\omega t)$, siendo $V_0=\sqrt 2 V_{ef}$, llego a que $I(t)=I(0)-\displaystyle \frac{ \sqrt 2}{\omega L}V_{ef} \cos(\omega t)$, sabiendo que $I(0)=0$, ya que $U_L(0)=0$.
Ahora como $U_L=\displaystyle \frac 12 LI^2$, $U_L(t)=\displaystyle \frac 12 L[I(t)]^2$, y por tanto
$U_L(t)=\displaystyle \frac 12 L{ \bigg[ \frac{ \sqrt 2}{\omega L}V_{ef} \cos(\omega t) \bigg ]}^2$
$U_L(t)= \displaystyle \frac {{V_{ef}}^2}{{\omega}^2 L} \cos^2 (\omega t)$
$U_L(t)= \displaystyle \frac {{V_{ef}}^2}{4 \pi^2 f^2 L} \cos^2 (2 \pi f t)$
$U_L(\frac 1{150})=6,13 \ J$

pero en la solución del problema pone 18,75 J, quisiera saber que es lo que estoy haciendo mal y como debería plantearlo. Muchas gracias de antemano

[Alriga]

Re: Calcular la energía en una inductancia

Una inductancia de 20 mH se conecta a una salida alterna de voltaje eficaz 220 V y frecuencia 50 Hz. Calcular la energía magnética almacena en la bobina en un tiempo t=1/150 s, sabiendo que en t=0 la energía almacenada es de 0 J.

El problema parece decir que

ANTES DEL INICIO: tenemos la fuente de tensión, tenemos la bobina desconectada de cualquier otra fuente y por lo tanto por ella no pasa ninguna corriente y por lo tanto no almacena ninguna energía y entre ambos elementos un interruptor abierto
INICIO: En t=0 cerramos el interruptor. Queremos saber la energía magnética almacena en la bobina al cabo de t=1/150 s

Al problema le falta un dato: El valor $V_0$ de la tensión instantánea en el momento de cerrar el interruptor, $-220 \cdot \sqrt 2 \leq V_0 \leq 220 \cdot \sqrt 2$ Ten en cuenta que según el enunciado, la corriente por la bobina es cero en el instante inicial, independientemente de cual sea el valor instantáneo de la tensión en el instante de la conexión. Por lo tanto por la bobina la corriente crecerá más deprisa si en el instante de la conexión se la somete a una tensión alta que a una tensión baja.

- Si se considera que en el instante inicial $V_0=0$ tu desarrollo es correcto, la corriente al cabo de 1/150 s es de 24.76 A y la energía de 6.13 J

Tú dices que $U_L(0)=0$ pero eso no te lo dice el enunciado del problema. El enunciado dice que $I_L(0)=0$ y eso en una bobina se puede dar sea cual sea la tensión inicial en ella, es decir puede haber cualquier $U_L(0)=V_0$ y ese es el dato que falta en el problema.

Decir que falta el dato de la tensión instantánea de la fuente en el inicio es equivalente a decir que falta el dato del ángulo de fase en el inicio, (al que se le suele llamar ángulo de conexión). En general la tensión de la fuente es:

$V(t)=220 \ \sqrt 2 \cos(\omega t+\phi)$

En el inicio, t=0

$V_0=220 \ \sqrt 2 \cos(\phi)$

De esta ecuación, si te dan $V_0$ sabes $\phi$ y si te dan $\phi$ puedes obtener $V_0$

Saludos.

[danielandresbru]

Re: Calcular la energía en una inductancia

Muchas gracias Alriga, yo si tenía esa impresión de que me faltaba un dato

[Alriga]

Re: Calcular la energía en una inductancia

La resolución del circuito en función del tiempo para una inductancia y una fuente ideales es:

-La tensión de la fuente, que se aplica directamente en bornes de la bobina es, $v(t)=V_M \cos(\omega t+\phi)$

$v(t)=L \ \dfrac{di}{dt}$

$di=\dfrac 1 L \ v(t) \ dt$

$\dst \int_0^t di=\dfrac{V_M}{L}\int_0^t \cos(\omega t+\phi) \ dt$

$\dst i(t)-i(0)=\dst \dfrac{V_M}{\omega L} \left [ \sin(\omega t + \phi) \right ]_0^t$

-El enunciado dice $i(0)=0$

$\dst i(t)= \dfrac{V_M}{\omega L} \left [ \sin(\omega t + \phi)-\sin \phi \right ]= \dfrac{2 \cdot V_M}{\omega L} \cdot \sin(\dfrac{\omega t}{2}) \cdot \cos(\dfrac{\omega t}{2}+\phi)$

-La energía almacenada instantáneamente en la bobina:

$e(t)=\dfrac 1 2 \ L \ [i(t)]^2$

-Los valores a sustituir para este caso particular:

$V_M=220 \cdot \sqrt 2 \ V$

$\omega=2 \cdot \pi \cdot 50 \ rad/s$

$L=0.02 \ H$

-El ángulo de conexión $\phi$ no lo da el enunciado.

Saludos.