Potencial de una corona circular

[leandrotexeira]

Un disco delgado con un agujero circular en el centro, llamado corona circular,tiene un radio interior R1y un radio exterior R2(ver figura). El disco tiene una densidad superficial de carga uniforme y positiva σen su superficie. La corona circular se encuentra en el plano yz, con su centro en el origen.
a) Determina la carga eléctrica sobre la corona.
b) Para un punto arbitrario p, a una distancia x, en el eje x(el eje de la corona circular), determine una expresión para el potencial eléctrico.

[JCB]

Hola a tod@s.

Como no dices lo que has intentado, te digo lo que yo haría.

a) Como $\sigma$ es constante, $Q=\sigma S$, y desarrollaría un poco más $S$.

b) Para hallar el potencial, consideraría la contribución de cada carga $dq$ contenida en coronas diferenciales de radio $r$ y anchura $dr$ (en dirección radial), integrando entre $R_1$ y $R_2$.

Saludos cordiales,
JCB.

[leandrotexeira]

muchas gracias, ya pude lograrlo.

[Alriga]

Hola leandrotexeira , bienvenido a La web de Física, como miembro reciente, echa un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Nos alegra que hayas podido resolver el ejercicio con las indicaciones de JCB ponemos ahora nuestra solución para que puedas comprobar que lo has resuelto correctamente y para consulta de futuros estudiantes del tema.

a) La carga eléctrica de la corona: $Q=\sigma S=\sigma \pi (R_2^2-R_1^2)$

b) Si tenemos un anillo circular unidimensional de radio "r" y carga total "Q" apoyado en el plano YZ y centrado en el origen, todos los puntos del anillo están a la misma distancia de un punto arbitrario elegido del eje X:

$d=\sqrt{r^2+x^2}$

El potencial eléctrico creado por el anillo unidimensional en ese punto será:

$$U_a(x)=\dfrac 1{4 \pi \varepsilon_0} \ \dfrac Q{\sqrt{r^2+x^2}}$$

Si ahora consideramos una corona circular de anchura diferencial con densidad de carga superficial $\sigma$ , el diferencial de carga es:

$dq=\sigma dS=\sigma \cdot (2\pi r \cdot dr)$

Y utilizando (1) calculamos el diferencial de potencial creado por la corona diferencial como:

$dU_c=\dfrac 1{4 \pi \varepsilon_0} \ \dfrac {\sigma \cdot 2\pi r \cdot dr}{\sqrt{r^2+x^2}}$

Integrando entre $R_1$ y $R_2$ obtenemos el potencial creado por la corona circular:

$\displaystyle U_c(x)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\int_{R_1}^{R_2} \ \dfrac r{\sqrt{r^2+x^2}} \ dr=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left [\sqrt{r^2+x^2}\right ]_{R_1}^{R_2}$

$$U_c(x)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Big ( \sqrt{R_2^2+x^2}-\sqrt{R_1^2+x^2}\Big )$$

Finalmente, aunque el enunciado no lo pide, el potencial eléctrico creado por un disco completo de radio "R" en un punto de su eje lo podemos calcular mediante la expresión anterior haciendo $R_1=0$ y $R_2=R$

$$U_d(x)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \Big ( \sqrt{R^2+x^2}-|x| \Big )$$

Saludos.