Potencial y campo eléctrico dentro de un cascarón cargado.

[Erebus]

Tal vez mi duda sea algo elemental pero ya llevo un tiempo con ella, así que aquí va.

El potencial de un cascarón con densidad superficial de carga constante de radio $a$ (aplica también si el cascarón tiene cierto espesor y se caracteriza por una densidad volumétrica constante) es:
$<br /> \Phi = \left\{<br /> \begin{array}{ll}<br /> \frac{kq}{r}, & \text{ si } a<r\\<br /> \frac{kq}{a}, & \text{ si } 0\leq r \leq a.<br /> \end{array}<br /> \right.<br />$
De donde se puede ver que el potencial dentro del cascarón es constante. Al tomar la derivada del potencial dentro del cascarón nos da un campo eléctrico interno igual a cero, lo cual concuerda con la ley de Gauss.

Mi duda es conceptual y es la siguiente:
Yo entiendo, intuitivamente, que si en una región existe un potencial no nulo, entonces hay una predisposición del campo para que una partícula cargada se acelere si ésta se "suelta" en esa región. Esto tiene sentido si recordamos que la energía potencial es $U=q\Phi$. Sin embargo, dentro de un cascarón cargado, si bien el potencial es constante, el campo eléctrico es cero, por lo cual una partícula cargada en esa región no sufrirá aceleración debida al campo.

Desde luego, tengo presente que el cambio de energía potencial será nulo al ser constante el potencial, pues $\Delta U=q\Delta\Phi=0$.

Lo que no me parece intuitivo es que haya un potencial no nulo y que, sin embargo, la carga no se acelere en tal región.

[Richard R Richard]

Aver si entiendo bien lo que enuncias, tienes un cascarón de espesor $e$ de radio exterior $a$ con carga total $q$ distribuida uniformemente en la superficie exterior, es decir el material es un conductor , entonces el campo eléctrico en función del radio es


$E = \left\{<br /> \begin{array}{ll}<br /> \dfrac{kq}{r^2} & \text{ si } a\leq r\\<br /> & \\<br /> 0 & \text{ si } a-e<r<a\\<br /> & \\<br /> 0 & \text{ si } 0\leq r \leq a-e<br /> \end{array}<br /> \right.$

para hallar el potencial entonces integras cada tramo sumando desde el infinito


$\dfrac{U}{q'} =\Phi = \left\{<br /> \begin{array}{ll}<br /> -\dst\int_r^{\infty}E dR=\dfrac{kq}{r} & \text{ si } a\leq r\\<br /> & \\<br /> \dfrac{kq}{a} & \text{ si } a-e<r<a\\<br /> & \\<br /> \dfrac{kq}{a} & \text{ si } 0\leq r \leq a-e<br /> \end{array}<br /> \right.$

como bien dices $\Delta U=q\Delta\Phi=0$ por eso las cargas no aceleran, ya que el campo eléctrico en el interior de la esfera es nulo, si no lo fuera habría redistribución de cargas o corriente eléctrica.

[Erebus]

Me parece que en la región $a-e<r<a$ el campo no es cero, pues el radio $r$ ya encierra cierta cantidad de carga.

[Richard R Richard]

Hola, he respondido suponiendo que el cascarón es conductor ideal, si no fuera así, por favor,explicanos cómo es la distribución de carga, La explicación de porque sucede así te la da JCB correctamente en el post #5.

[Al2000]

...
Lo que no me parece intuitivo es que haya un potencial no nulo y que, sin embargo, la carga no se acelere en tal región.

La situación es similar a aceptar que es lógico que una pelota no acelere en ninguna dirección cuando se encuentra en un piso horizontal (el cual es nuestra referencia de potencial gravitacional nulo) y que sin embargo te parezca poco intuitivo que la misma pelota no acelere en ninguna dirección cuando se encuentra en una mesa igualmente horizontal pero a 1 metro de altura sobre nuestra referencia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Erebus]

Entiendo Al2000, la mesa tiene un potencial mayor con respecto al suelo, pero toda su superficie es equipotencial. Esto podría sugerir que una partícula confinada a una región equipotencial no sufrirá aceleración. Estoy especulando, no he buscado un teorema que lo establezca.

Por cierto, es una analogía estupenda.

[JCB]

Me parece que en la región $a-e<r<a$ el campo no es cero, pues el radio ya encierra cierta cantidad de carga.

Hola a tod@s.

Eso sería cierto si el cascarón fuese de un material aislante, pero si el cascarón es conductor, toda su carga se encuentra en la superficie exterior, aunque el cascarón tenga un espesor $e$. Por tanto, para un cascarón conductor (de radio exterior $a$, y espesor $e$), el campo es 0, para $0\leq r<a$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Erebus]

Oh ya veo. Debí ser más específico. Gracias por sus aclaraciones.

[JCB]

Hola a tod@s.

Siguiendo con el tema, en caso de que el cascarón estuviese constituido por un material dieléctrico, y la densidad volumétrica de carga $\rho$ fuese constante, llego a que:

- para $0\leq r<a-e$, $E=0$.

- para $a-e\leq r<a$, $E=\dfrac{k\rho V(r)}{r^2}$, siendo $V(r)$ el volumen de material dieléctrico contenido dentro de la superficie gaussiana.

- para $r\geq a$, $E=\dfrac{k\rho V}{r^2}$, siendo $V$ el volumen total de material dieléctrico.

Saludos cordiales,
JCB.

[Erebus]

Me sale lo mismo.