Proton en el Large Hadron Collider

[Inukami]

Hola,

debo encontrar la Excitación magnética [H] del campo magnetico [B] creado por el LHC. (Creo que quieren la excitación magnetica, porque me han pedido la fuerza del campo magnetico)
Dado: Einj = 450 GeV (La energie kinetica de los protones), R = 2,803 km (Radio de nuestro accelerador),

Yo queria usar la Ley de Biot-Savart, osea $d{\bf{B}} = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{Id\ell \times {\bf{\hat r}}}}{{r^2 }}$

Ademas creo que el angulo del producto vectorial es 90°, por lo que podemos usar los valores babsolutos de r y l.

Osea quedaria con: ${\bf{B}} = \frac{{\mu _0 }}{{4\pi }}\frac{{I\ell \* {\bf{\hat r}}}}{{r^2 }}$

He derrivado correctamente la formula? El Largo lo calcularia con $2*pi*R$

[arivasm]

Será mejor que pongas el enunciado. Adelanto que lo que escribes no parece adecuado: tiene pinta de que estás intentando calcular el campo magnético que originan los propios protones. Si, como dices, se trata de calcular la fuerza sobre los protones, basta con que tengas en cuenta que al ser un movimiento circular uniforme dicha fuerza es $F=m\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{2K}{R}$, donde $K$ es su energía cinética, 450 GeV.

[carroza]

Arivasm, ten cuidado de que para un protón untrarrelativista (450 GeV)
No se cumple que la energía cinética sea 1/2 m v^2.
Saludos

[arivasm]

Tiene razón Carroza (¡gracias!). Con una energía cinética de 450 GeV el tratamiento debe ser relativista. Ni la fuerza sería como la escribí, ni tampoco la energía cinética.

Insisto en que nuestro amigo escriba el enunciado.

Lo que no quita que sea bonito el problema relativista: ¿qué fuerza se necesita para mantener en una órbita circular un protón de 450 GeV?

Lo que sigue es erróneo, como se aclara en mensajes posteriores

Si no me equivoco, la respuesta sería así: la expresión relativista para la fuerza en un movimiento circular uniforme es

$F = \dfrac{ma}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{mv^2}{R\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)^3}$

que también podemos escribir como

$F=\dfrac{p^2}{mR\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Como $E^2=(K+mc^2)^2=(pc)^2+(mc^2)^2$, tenemos que

$p^2=2mK+\left(\dfrac{K}{c}\right)^2$

y por otra parte

$\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\dfrac{E}{mc^2}=1+\dfrac{K}{mc^2}$

En consecuencia

$F = \dfrac{2mK+\left(\frac{K}{c}\right)^2}{mR}\left(1+\dfrac{K}{mc^2}\right)$

que encuentro más bonita escrita así, pues dejar ver claramente la desviación respecto de la expresión no relativista, que escribí antes:

$F = \dfrac{2K}{R}\left(1+\dfrac{K}{2mc^2}\right)\left(1+\dfrac{K}{mc^2}\right)$

Pero mi olfato de docente me dice que, visto lo escrito en el primer mensaje, el problema no va por aquí.

Insisto: lo mejor es que ponga el enunciado.

[Alriga]

la expresión relativista para la fuerza en un movimiento circular uniforme es

$F = \dfrac{ma}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Creo que eso es correcto. La expresión general de la fuerza que se obtiene derivando la cantidad de movimiento relativista es:

$$\boxed{\vec F = m \gamma \vec a + \dfrac 1{c^2} m \gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v}$$

En un movimiento circular uniforme la velocidad es tangencial y la aceleración es centrípeta, son por lo tanto perpendiculares, su producto escalar es cero y nos queda la expresión para la fuerza centrípeta:

$\vec F = m \gamma \vec a$

Los módulos:

$F = m \gamma a$

Que coincide con lo que ha escrito arriba arivasm , que a continuación escribe:

$F =\dfrac{mv^2}{R\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)^3}$

Y aquí es donde discrepo, creo que el cubo del denominador es un gazapo. Entiendo que:

$a=\dfrac{v^2}R$

Y por lo tanto:

$$F=\dfrac{m \gamma v^2}R$$

$F =\dfrac{mv^2}{R \ \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Y no:

$F=\cancel{\dfrac{mv^2}{R\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} \right)^3}}=\cancel{\dfrac{p^2}{mR\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}$

No sabemos qué pide el enunciado porque Inukami no nos lo ha puesto claro y completo, pero si pidiese el campo magnético H, como los protones vuelan en el vacío del LHC, simplemente se cumple que

$B=\mu_0 H$

La Fuerza de Lorentz en este caso en el que la velocidad es perpendicular a la inducción magnética es:

$$F=q v B$$

Igualando ambas fuerzas (1) y (2) y teniendo en cuenta que $p=m \gamma v$ obtenemos que la inducción magnética "B" está relacionada con el momento del protón "p", la carga del protón "q" y el radio de giro "R" mediante

$$B=\dfrac p{q R}$$

$H=\dfrac B{\mu_0}$

Para el caso no relativista sería $\gamma \approx 1 \ \rightarrow \ p \approx m v$ pero para este caso en el que el protón es relativista ($p=m \gamma v$), el momento lineal se puede calcular si conocemos la energía cinética $K = 450 \ GeV$ y la masa "m" del protón a partir de la expresión que da correctamente arivasm en el post anterior:

$K=E-mc^2$

$$K=\sqrt{p^2 c^2+(m c^2)^2}-m c^2$$

Para un protón la energía de su masa es $m c^2 = 0.9383 \ GeV$ y como conocemos "K", despejamos "p"


Otra cosa, dice Inukami (con faltas de ortografía)

Dado: Einj = 450 GeV (La energie kinetica de los protones), ...

Es Inukami quien dice que los 450 GeV es la energía cinética, pero por el nombre que le da, $E_{inj}$ más parecería que pudiera ser "Energía de inyección" que quizás sería no solo la energía cinética, sino la energía total suma de la energía cinética y de la energía de su masa, lo que haría el despeje del momento lineal "p" aún algo más fácil:

$$E=450 \ GeV=\sqrt{p^2 c^2+(m c^2)^2}$$

Saludos.

PD: amistoso pero enérgico tirón de orejas al compañero Inukami que nos ha puesto un enunciado tan "poco currado" por su parte

[arivasm]

Y aquí es donde discrepo, creo que el cubo del denominador es un gazapo. Entiendo que:

$a=\dfrac{v^2}R$

Seguro que tienes razón. De todos modos, la expresión que he puesto la he visto por varios sitios. Haciendo una búsqueda en Google encuentro algunos, como estos: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...nchrotron.html, la expresión (24) en http://www.mrelativity.net/RelOrbita...20Velocity.htm, o en este libro: https://books.google.es/books?id=9uo...ion%22&f=false

[Alriga]

... la expresión que he puesto la he visto por varios sitios. Haciendo una búsqueda en Google encuentro algunos, como estos: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...nchrotron.html, la expresión (24) en http://www.mrelativity.net/RelOrbita...20Velocity.htm, o en este libro: https://books.google.es/books?id=9uo...ion%22&f=false

Me dejas ojiplático. Es raro que varios sitios se confundan, pero no veo error en lo que yo digo. Además si aplico mis expresiones al LHC cuando funciona a 7 TeV todo cuadra, según los datos de LHC parameters. Taking a closer look at LHC


1)

$F_c=\dfrac{m \gamma v^2}R \approx \dfrac{m \gamma c^2}R=\dfrac E R$

Bending Radius R=2804 m (dato del enlace anterior, que además coincide con el que da el enunciado del hilo)

$E = 7 \ TeV = 1.122\cdot 10^{-6} \ J$

$F_c=4\cdot 10^{-10} \ N$

La fuerza de Lorentz:

$F_L=q v B \approx q c B$

$q=1.602\cdot 10^{-19} \ C$

c = 299792458 m/s

Igualando ambas fuerzas se obtiene que el campo magnético necesario en el LHC es:

$B\approx \dfrac{F_c}{q c}=8.33 \ T$

Valor que coincide (ver el enlace anterior) con el campo magnético que realmente se aplica en el LHC


2)

Repitamos las cuentas con la expresión alternativa que dan esas referencias:

$F_c=m \gamma \dfrac{(\gamma v)^2}R=\dfrac{m \gamma^3 v^2}R=\dfrac{m \gamma v^2 \cdot \gamma^2}R$

$F_c \approx \dfrac{m \gamma c^2 \cdot \gamma^2}R=\dfrac{E \gamma^2}R$

Hallemos el Factor de Lorentz

$\gamma=\dfrac E{mc^2}=\dfrac 7{938.3\cdot 10^{-6}}=7460$

Poniendo los números:

$F_c=\dfrac{E \gamma^2}R=0.0223 \ N=22.3 \ mN$

A mi me parece una fuerza monstruosa para estar aplicada a un único protón. El campo magnético necesario según la expresión de la fuerza de Lorentz:

$B\approx \dfrac{F_c}{q c}=4.6\cdot 10^8 \ T$

Sale un campo magnético enorme, (similar al de una estrella de neutrones e inalcanzable con la tecnología actual en la Tierra) y que desde luego no es el de 8.33 T que hay aplicado en el LHC según la bibliografía.

Igual se me escapa algo. Saludos.

[carroza]

Hola.

he revisado las referencias que cita arivasm, y creo que se refieren a la aceleración centrípeta, pero evaluada en el sistema de referencia de la partícula que se mueve (el protón en ese caso). En ese caso, el tiempo se contrae para el protón, pasaría muy lento, por lo que este protón siente que hay una aceleración muy grande. En este sistema del protón, el campo electromagnético que observa es también muy diferente del que observamos nosotros desde fuera.



Desde nuestro punto de vista, que es en reposo con respecto a los imanes del LHC, las expresiones correctas son las que pone Alriga. La fuerza que actúa es la fuerza de Lorentz debido al iman de unos 8 teslas, y el cambio del momento por la curvatura del protón en un angulo $d \phi$, que es $dP = P d \phi$, transcurre en un tiempo que es $dt = d\phi / \omega = d \phi R / v$. Este es el tiempo que vemos desde fuera, no el tiempo propio del protón.

Con eso podemos usar la fórmula $F = dP / dt = P v / R$, igualarla a la fuerza de Lorentz, y sale lo que tiene Alriga

Saludos

[arivasm]

Muchas gracias a ambos. Ya he incluido el aviso de error en el mensaje.

A ver si esta vez no vuelvo a meter la pata.

Antes de nada, aclaro que no pretendo discutir lo que dice Alriga de que el dato de los 450 GeV posiblemente sea su energía y no unicamente la cinética (aunque la diferencia es, en realidad mínima, pues la energía de un protón en un reposo es de 0,93 GeV).

Haciendo como dije en mi mensaje, pero partiendo de la expresión correcta

$F =\dfrac{mv^2}{R\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Operando como indiqué entonces, si el objetivo es obtener una expresión en función de la energía cinética, y así poder comparar con la clásica, $F=2K/R$, ahora resulta

$F=\dfrac{2K}{R}\dfrac{1+\frac{K}{2mc^2}}{1+\frac{K}{mc^2}}$

que, como vemos, coincide con la clásica si $K<<mc^2$

[Inukami]

Me dejas ojiplático. Es raro que varios sitios se confundan, pero no veo error en lo que yo digo. Además si aplico mis expresiones al LHC cuando funciona a 7 TeV todo cuadra, según los datos de LHC parameters. Taking a closer look at LHC


1)

$F_c=\dfrac{m \gamma v^2}R \approx \dfrac{m \gamma c^2}R=\dfrac E R$

Bending Radius R=2804 m (dato del enlace anterior, que además coincide con el que da el enunciado del hilo)

$E = 7 \ TeV = 1.122\cdot 10^{-6} \ J$

$F_c=4\cdot 10^{-10} \ N$

La fuerza de Lorentz:

$F_L=q v B \approx q c B$

$q=1.602\cdot 10^{-19} \ C$

c = 299792458 m/s

Igualando ambas fuerzas se obtiene que el campo magnético necesario en el LHC es:

$B\approx \dfrac{F_c}{q c}=8.33 \ T$

Valor que coincide (ver el enlace anterior) con el campo magnético que realmente se aplica en el LHC


2)

Repitamos las cuentas con la expresión alternativa que dan esas referencias:

$F_c=m \gamma \dfrac{(\gamma v)^2}R=\dfrac{m \gamma^3 v^2}R=\dfrac{m \gamma v^2 \cdot \gamma^2}R$

$F_c \approx \dfrac{m \gamma c^2 \cdot \gamma^2}R=\dfrac{E \gamma^2}R$

Hallemos el Factor de Lorentz

$\gamma=\dfrac E{mc^2}=\dfrac 7{938.3\cdot 10^{-6}}=7460$

Poniendo los números:

$F_c=\dfrac{E \gamma^2}R=0.0223 \ N=22.3 \ mN$

A mi me parece una fuerza monstruosa para estar aplicada a un único protón. El campo magnético necesario según la expresión de la fuerza de Lorentz:

$B\approx \dfrac{F_c}{q c}=4.6\cdot 10^8 \ T$

Sale un campo magnético enorme, (similar al de una estrella de neutrones e inalcanzable con la tecnología actual en la Tierra) y que desde luego no es el de 8.33 T que hay aplicado en el LHC según la bibliografía.

Igual se me escapa algo. Saludos.

Muchas gracias, parece que mis calculos estan correctos.

[Inukami]

Creo que eso es correcto. La expresión general de la fuerza que se obtiene derivando la cantidad de movimiento relativista es:

$\vec F = m \gamma \vec a + \dfrac 1{c^2} m \gamma^3 (\vec v \cdot \vec a) \vec v$

En un movimiento circular uniforme la velocidad es tangencial y la aceleración es centrípeta, son por lo tanto perpendiculares, su producto escalar es cero y nos queda la expresión para la fuerza centrípeta:

$\vec F = m \gamma \vec a$

Los módulos:

$F = m \gamma a$

Que coincide con lo que ha escrito arriba arivasm , que a continuación escribe:



Y aquí es donde discrepo, creo que el cubo del denominador es un gazapo. Entiendo que:

$a=\dfrac{v^2}R$

Y por lo tanto:

$$F=\dfrac{m \gamma v^2}R$$

$F =\dfrac{mv^2}{R \ \sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

Y no:



No sabemos qué pide el enunciado porque Inukami no nos lo ha puesto claro y completo, pero si pidiese el campo magnético H, como los protones vuelan en el vacío del LHC, simplemente se cumple que

$B=\mu_0 H$

La Fuerza de Lorentz en este caso en el que la velocidad es perpendicular a la inducción magnética es:

$$F=q v B$$

Igualando ambas fuerzas (1) y (2) y teniendo en cuenta que $p=m \gamma v$ obtenemos que la inducción magnética "B" está relacionada con el momento del protón "p", la carga del protón "q" y el radio de giro "R" mediante

$$B=\dfrac p{q R}$$

$H=\dfrac B{\mu_0}$

Para el caso no relativista sería $\gamma \approx 1 \ \rightarrow \ p \approx m v$ pero para este caso en el que el protón es relativista ($p=m \gamma v$), el momento lineal se puede calcular si conocemos la energía cinética $K = 450 \ GeV$ y la masa "m" del protón a partir de la expresión que da correctamente arivasm en el post anterior:

$K=E-mc^2$

$$K=\sqrt{p^2 c^2+(m c^2)^2}-m c^2$$

Para un protón la energía de su masa es $m c^2 = 0.9383 \ GeV$ y como conocemos "K", despejamos "p"


Otra cosa, dice Inukami (con faltas de ortografía)



Es Inukami quien dice que los 450 GeV es la energía cinética, pero por el nombre que le da, $E_{inj}$ más parecería que pudiera ser "Energía de inyección" que quizás sería no solo la energía cinética, sino la energía total suma de la energía cinética y de la energía de su masa, lo que haría el despeje del momento lineal "p" aún algo más fácil:

$$E=450 \ GeV=\sqrt{p^2 c^2+(m c^2)^2}$$

Saludos.

PD: amistoso pero enérgico tirón de orejas al compañero Inukami que nos ha puesto un enunciado tan "poco currado" por su parte

Jaja, perdon. Pero la verdad es que esta vez no recibí ningun mensaje de este hilo(osea una notificación por Email)y por eso pense, que qun no habian respuestas/preguntas.


Aun asi, gracias

[Alriga]

Muchas gracias, parece que mis cálculos estan correctos.

De nada, pero lo justo es que hicieses extensivo tu agradecimiento a arivasm y carroza cuyas contribuciones al hilo han sido tan importantes o más que la mía. Y además no cuesta nada, es cuestión de apretar un simple botón.

Saludos.