Problema de campo eléctrico en cascarones esféricos cargados

[Hodel]

Buenas. Estoy atascado en un problema (que es el siguiente):

Una carga puntual Q > 0 se encuentra rodeada por dos cascarones esféricos de radio a y b (a < b) como muestra la figura 1. El cascarón interno se encuentra cargado con densidad superficial de carga σ1 > 0, mientras que el cascarón externo posee densidad de carga superficial σ2 = −σ1a²/b² .

(a) Calcule el campo eléctrico en todo el espacio, justificando correctamente.
(b) Dibuje cualitativamente las líneas de campo eléctrico en todo el espacio.
(c) Calcule el potencial en todo el espacio. Sea claro en el punto de referencia elegido.

Entiendo que hay que usar Ley de Gauss para ir calculando el campo eléctrico en cada una de las "secciones" del espacio: dentro de la esfera más pequeña, entre las dos esferas, y afuera de la grande.

Para empezar, yo consideré una superficie gaussiana r1 que está "debajo" de la primera capa o esfera: 0 > r1 > a.
Usando ley de Gauss calculo el flujo neto de esa superficie conceptual:

∫E * n * ds = Qencerrada / ɛ0 = Q/ɛ0

donde Q es la carga puntual positiva.

El problema lo tengo con las superficies esféricas. Primero, supongo una superficie gaussiana que está entre esas dos esferas, una r2:

b > r2 > a

Entonces ahora debiera ver cual es la carga encerrada. Pero no sé si está bien suponer que la carga puntual del centro induce una carga de signo opuesto sobre la superficie de la primer esfera, anulándose y dejando solamente la carga σ1.

Para la segunda esfera lo tengo aun más complicado, ya que depende del cálculo y razonamiento anterior. Si alguien me puede ayudar, lo agradecería mucho! Y si hay errores de razonamiento, por favor señalarlos, ya que no estoy muy seguro de las cosas que planteé.

Gracias de antemano.

[Al2000]

Olvídate de la inducción de carga, que solo te afectaría si los cascarones fuesen de espesor no nulo (en cualquier caso, la carga de inducción aparecería en pares -Q y +Q). Trabaja solamente con las cargas que te indican y calcula la carga total encerrada por las distintas superficies gaussianas.

Si tienes mas dudas, pregunta de nuevo. Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Ciertamente, Al2000, si los cascarones son de espesor despreciable, entiendo que no se tenga en cuenta al fenómeno de influencia. No obstante, si el espesor de los cascarones fuese no nulo, y tuvieran radio exterior $a$ y $b$, respectivamente, entonces las cargas presentes, si no me equivoco, serían las siguientes:

- En la superficie interior del cascarón interno: $-Q$.

- En la superficie exterior del cascarón interno: $\sigma_14\pi a^2+Q$.

- En la superficie interior del cascarón externo: $-\sigma_14\pi a^2-Q$.

- En la superficie exterior del cascarón externo: $\sigma_14\pi a^2+Q+\sigma_24\pi b^2$.

Nota: sería conveniente cambiar magnético por eléctrico, en el título del hilo.

Saludos cordiales,
JCB.