Campo magnético de solenoide e hilo infinitos

[Hodel]

Considere un hilo infinito por el que circula una corriente I1, rodeado por un solenoide infinito de radio A con n vueltas por unidad de longitud y corriente I2 por cada espira que conforma el solenoide, como muestra la figura 3a. El hilo se encuentra en el centro de la sección circular del solenoide.
(a) Calcule el campo magnético en todo el espacio. Justifique claramente su respuesta.
(b) Dibuje cualitativamente las líneas de campo magnético en todo el espacio.
(c) ¿Existe una relación entre I1, I2 para que el campo para un r < A sea cero?
(d) Se ubica una carga Q a la izquierda del solenoide que se mueve con una velocidad paralela a la dirección de la corriente I1 como se muestra en la figura 3a. Diga en qué dirección comenzaría a moverse la carga. Justifique claramente su respuesta.

Estoy muy clavado en el a, y entiendo que a partir de este se hacen los demás ejercicios. Y con el b y c tengo mis dudas también.
Gracias de antemano.

[Al2000]

Estoy muy clavado en el a...

A decir verdad ese es el inciso más fácil Es simplemente superponer los campos de la corriente y del solenoide.

Yo no se si tienes que calcular cada campo desde cero, pero yo no lo voy a hacer sino que los consideraré conocidos. Si los tienes que calcular, en cualquier libro los consigues como ejemplos de aplicación de la ley de Ampère.

El campo que produce una corriente rectilínea infinita tiene módulo

$$B = \frac {\mu_0 i}{2 \pi r}$$

y las líneas de inducción rodean el conductor formando círculos en un plano perpendicular a la corriente y orientados según la regla de la mano derecha.

El campo que produce un solenoide ideal es nulo en el exterior del solenoide y en su interior vale

$$B = \mu_0 n i$$

y es uniforme dirigido paralelamente al eje y en la dirección de la regla de la mano derecha.

Para aclararnos, considera que tu corriente rectilínea circula en la dirección del eje Z de un sistema de coordenadas cilíndrico. Entonces los dos campos son

$$\boldsymbol B_\text {corr} = \frac {\mu_0 I_1}{2 \pi r}\, \boldsymbol u_\theta$$

$$\boldsymbol B_\text {sol} =<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> -\mu_0 & n I_2 \, \boldsymbol u_z, & 0 \leqslant &r \leqslant A \\<br /> & \boldsymbol 0, & A < &r < \infty<br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Bueno, el campo resultante será la suma. Yo presumo que las líneas de inducción se retuercen alrededor del eje del solenoide, pero la verdad es que nunca me he detenido a analizarlo seriamente.

La respuesta a la pregunta (c) es un rotundo no (los dos campos son perpendiculares entre si y no pueden anularse entre ellos).

En el inciso (d) el solenoide no juega ningún papel pues no produce campo en el exterior. La carga estará sometida a la fuerza magnética del campo de la corriente y se puede calcular fácilmente:

$$\boldsymbol F = Q \boldsymbol v \times \boldsymbol B_\text {corr} = Q (v\, \boldsymbol u_z) \times \left(\frac {\mu_0 I_1}{2 \pi r}\, \boldsymbol u_\theta\right) = - \frac {\mu_0 Q I_1 v}{2 \pi r}\, \boldsymbol u_r$$

Nota que la carga es empujada hacia el conductor y describirá alguna clase de movimiento helicoidal que no tengo claro en este momento.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Hodel]

A decir verdad ese es el inciso más fácil Es simplemente superponer los campos de la corriente y del solenoide.

Yo no se si tienes que calcular cada campo desde cero, pero yo no lo voy a hacer sino que los consideraré conocidos. Si los tienes que calcular, en cualquier libro los consigues como ejemplos de aplicación de la ley de Ampère.

El campo que produce una corriente rectilínea infinita tiene módulo

$$B = \frac {\mu_0 i}{2 \pi r}$$

y las líneas de inducción rodean el conductor formando círculos en un plano perpendicular a la corriente y orientados según la regla de la mano derecha.

El campo que produce un solenoide ideal es nulo en el exterior del solenoide y en su interior vale

$$B = \mu_0 n i$$

y es uniforme dirigido paralelamente al eje y en la dirección de la regla de la mano derecha.

Para aclararnos, considera que tu corriente rectilínea circula en la dirección del eje Z de un sistema de coordenadas cilíndrico. Entonces los dos campos son

$$\boldsymbol B_\text {corr} = \frac {\mu_0 I_1}{2 \pi r}\, \boldsymbol u_\theta$$

$$\boldsymbol B_\text {sol} =<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> -\mu_0 & n I_2 \, \boldsymbol u_z, & 0 \leqslant &r \leqslant A \\<br /> & \boldsymbol 0, & A < &r < \infty<br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Bueno, el campo resultante será la suma. Yo presumo que las líneas de inducción se retuercen alrededor del eje del solenoide, pero la verdad es que nunca me he detenido a analizarlo seriamente.

La respuesta a la pregunta (c) es un rotundo no (los dos campos son perpendiculares entre si y no pueden anularse entre ellos).

En el inciso (d) el solenoide no juega ningún papel pues no produce campo en el exterior. La carga estará sometida a la fuerza magnética del campo de la corriente y se puede calcular fácilmente:

$$\boldsymbol F = Q \boldsymbol v \times \boldsymbol B_\text {corr} = Q (v\, \boldsymbol u_z) \times \left(\frac {\mu_0 I_1}{2 \pi r}\, \boldsymbol u_\theta\right) = - \frac {\mu_0 Q I_1 v}{2 \pi r}\, \boldsymbol u_r$$

Nota que la carga es empujada hacia el conductor y describirá alguna clase de movimiento helicoidal que no tengo claro en este momento.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Muchas gracias. Una consulta más: en el inciso d, no hay ninguna fuerza eléctrica que haga que la carga se mueva? No habría que aplicar ley de Lorentz, que tiene dos términos y uno es eléctrico?
Saludos.

[Al2000]

$(\boldsymbol u_r,\, \boldsymbol u_\theta,\, \boldsymbol u_z )$ es la terna de vectores unitarios en coordenadas cilíndricas. Por aquí acostumbran más a usar $(\hat r,\, \hat \theta ,\, \hat z)$ para lo mismo. Yo estudié en mis tiempos con el Alonso-Finn y todavía mantengo el hábito de su nomenclatura.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Hodel]

$(\boldsymbol u_r,\, \boldsymbol u_\theta,\, \boldsymbol u_z )$ es la terna de vectores unitarios en coordenadas cilíndricas. Por aquí acostumbran más a usar $(\hat r,\, \hat \theta ,\, \hat z)$ para lo mismo. Yo estudié en mis tiempos con el Alonso-Finn y todavía mantengo el hábito de su nomenclatura.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Muchas gracias. Una consulta más: en el inciso d, no hay ninguna fuerza eléctrica que haga que la carga se mueva? No habría que aplicar ley de Lorentz, que tiene dos términos y uno es eléctrico?
Saludos.

[Al2000]

No en este caso, pues los campos magnéticos son constantes en el tiempo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Hodel]

Muchas gracias.