Calcular el campo magnetico fuera y dentro del conductor

[Inukami]

Hola

Tengo un conductor en el que fluye la corriente I y la densidad de corriente j = k*r*e_r [Osea incremente radialmente].

Ahora tengo que hacer un plot del campo magnetico dentro del conductor hasta afuera del conductor.

Me imagino que va a incrementar y a partir del borde va a disminuir, porque solo pasa corriente tras la superficie cerrada.

Mi plan era usar Ampere, tras integrar la corriente (Supongo que hay que integrarla, como depende de la distancia r) del punto 0 hasta el borde del conductor R


Paso 1: Campo magnetico en el interior:

I = Integral[ (k*r)(dA)] = Integral[ (k*r)(2*pi*r)(dr)] = (2/3)*pi*k*R³

Con la cuarta Maxwell:

B = u₀*I/(2*pi*R) = u₀*k*R²/3

Como esperaba, dentro del conductor incrementa, pero es la primera vez que veo un que B~R² y por eso creo que ya en el primer paso hice algo mal.




Paso 2: Campo magnetico en el exterior:


La superficie del conductor no ha cambiado, por eso supongo que I = (2/3)*pi*k*R² aun aplica.

Ahora con Ampere/Maxwell4:

B = u₀*I/(2*pi*R), considerando que ahora solo r varia y R es constante:

B = u₀*k*R³/(3r)

Lo malo es que no se con que programa puedo hacer un plot y tampoco se como podria compartirlo tras el foro la verdad, pero yo diria que ahora tenemos una disminuición lineal(Bueno, no lineal, pero 1/r).

Osea B ~ 1/r (Lo que me parece mas logico que mi Respuesta en el paso 2)


Os agradeceria una opinión, porque la verdad es que estoy inseguro sobre mis calculos y especialmente por ese incremento de R² en el paso 1

[Al2000]

Mira, tienes que hacer las apropiadas consideraciones de simetría que te lleven a la conclusión de que el campo magnético es circular centrado en el eje de la corriente. Son las mismas consideraciones que en su momento debiste hacer para calcular el campo de la corriente infinita usando la ley de Ampère.

Tanto en el caso del campo en puntos interiores como en el caso de puntos exteriores, debería llegar a la expresión

$$\oint_L \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell = \mu_0 I_\text {encerrada} \quad \Rightarrow \quad B = \frac {\mu_0 I_\text {encerrada}}{2 \pi r}$$

siendo $r$ la distancia al eje de la corriente.

Cuando consideras puntos en el interior de la corriente ($0 \leqslant r \leqslant R$) tienes que

$$I_\text {encerrada} = \int _0 ^r \boldsymbol j \boldsymbol \cdot d \boldsymbol A = \int_0^r (k r)(2 \pi r \,dr) = \frac 2 3 \pi k r^3$$

$$\boxed {B = \frac 1 3 \mu_0 k r^2, \quad 0 \leqslant r \leqslant R}$$

Para el exterior de la corriente ($R \leqslant r < \infty$), la cosa queda

$$I_\text {encerrada} = \int _0 ^R \boldsymbol j \boldsymbol \cdot d \boldsymbol A = \int_0^R (k r)(2 \pi r \,dr) = \frac 2 3 \pi k R^3$$

$$\boxed {B = \frac {\mu_0 k R^3}{3 r}, \quad R \leqslant r < \infty }$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD: Si no tienes valores numéricos, te sugiero graficar $B/B_\text {sup}$ contra $r/R$. Deberías obtener una parábola entre 0 y 1 empatada con una hipérbola.

[Inukami]

Perfecto, muchas gracias por ayuda. No puedo creer que lo hice bien jaja.

Exacto, no tengo valores numéricos. Voy a intentarlo y ver si me sale una hiperbola

[Al2000]

Pues no dejes que una pobre presentación desmerite tus logros intelectuales Aprende LaTeX y exprésate mucho mejor. Mira que está en la naturaleza humana sentir que lo bonito es bueno mientras que lo feo es malo

[Alriga]

Inukami , usar LaTeX es muy sencillo, incluso viejos torpes como yo lo aprenden en media hora. Aquí tienes un tutorial: Cómo introducir ecuaciones en los mensajes, aquí un blog, Aprender LaTeX y aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX

Recuerda además que haciendo doble click en cualquier fórmula del foro verás el código en el que está escrita. Para copiarla, puedes seleccionarla con el ratón, clickar "Copiar" y a continuación con el botón derecho del ratón "Pegar como texto sin formato" en medio de los corchetes [TEX]Pegar como texto sin formato[/TEX] y ya está.