1r ciclo Campo eléctrico en lámina infinita no conductora y lámina infinita conductora.

[JCB]

Hola a tod@s.

Quisiera plantear el siguiente ejercicio, pues no tengo la certeza sobre el resultado al que he llegado. Se trata de una lámina infinita no conductora (densidad de carga superficial $\sigma$), dispuesta en paralelo con una lámina infinita conductora (densidad de carga superficial en cada cara, igual a $\sigma$). El objetivo es determinar el campo eléctrico en todas las zonas del espacio, y la nueva densidad superficial de la lámina conductora.



a) A partir de la contribución de cada lámina, $E_{nc}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$, para la lámina no conductora, y $E_c=\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$, para la lámina conductora, determino el campo resultante en las tres zonas del espacio I, II y III, siendo

$E_I=\dfrac{3}{2}\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$, con sentido hacia la izquierda.

$E_{II}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$, con sentido hacia la izquierda.

$E_{III}=\dfrac{3}{2}\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$, con sentido hacia la derecha.

Nota: en el interior de la lámina infinita conductora, el campo eléctrico es 0.

b) Debido a la inducción electrostática de la lámina no conductora, se produce una redistribución de la carga eléctrica en la lámina conductora. Aplico la ley de Gauss, utilizando un cilindro gaussiano que empiece en la zona II, y acabe dentro de la lámina conductora (cerca de la cara A),

$E_{II}S=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}$,

$\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}S=\dfrac{\sigma_A S}{\epsilon_0}$,

$\sigma_A=\dfrac{\sigma}{2}$.

Aplico la ley de Gauss, utilizando un cilindro gaussiano que empiece dentro de la lámina conductora (cerca de la cara B), y acabe en la zona III,

$E_{III}S=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}$,

$\dfrac{3}{2}\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}S=\dfrac{\sigma_B S}{\epsilon_0}$,

$\sigma_B=\dfrac{3}{2}\sigma$.

Nota: se comprueba que $\sigma_A+\sigma_B=2\sigma$. La densidad superficial total final $(2\sigma)$, coincide con la densidad superficial total inicial.

También tengo la duda siguiente: he determinado la redistribución de las densidades superficiales de carga en la lámina conductora, a partir de $E_{II}$ y de $E_{III}$, pero el hecho de que haya esa redistribución de densidades, ¿ no modifica las expresiones de los campos inicialmente determinados $E_I$, $E_{II}$ y $E_{III}$ ?.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Todo el apartado a) puedes borrarlo. No tiene sentido calcular los campos con esos valores pues aun no has determinado cómo se distribuye la carga en la lámina conductora.

Debes partir de que tienes tres superficies cargadas con densidades $\sigma, \sigma_A, \sigma_B$ y hacer la superposición de los campos de las tres superficies cargadas haciendo abstracción de que se trate de carga sobre una superficie conductora o no. En otras palabras, cada carga producirá el campo $\sigma/2 \epsilon_0$ en ambas direcciones.

Te quedará un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

--- Condición campo nulo en el interior de la lámina conductora: $\dst \frac \sigma {2 \epsilon_0} + \frac {\sigma_A}{2 \epsilon_0} - \frac {\sigma_B}{2 \epsilon_0} = 0$

--- Carga total de la lámina conductora: $\sigma_A + \sigma_B = 2 \sigma$

Si no me he equivocado, eso debe dejarte con la distribución de cargas $\sigma_A = \frac 1 2 \sigma, \,\,\sigma_B = \frac 3 2 \sigma$. Con la distribución de cargas ahora conocida, puedes calcular el campo resultante en cada región.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias por la respuesta, Al2000, pero de momento, no voy a borrar el apartado a). Antes al contrario, teniendo en cuenta tus indicaciones, repito el apartado a) de forma parecida a la manera que hice en mi mensaje # 1, pero considerando las densidades superficiales de carga finales desconocidas $\sigma_A$ y $\sigma_B$. Al estar aislada la lámina conductora, se cumple que

$$\sigma_A+\sigma_B=2\sigma$$

a) $E_I=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma_A}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma_B}{2\epsilon_0}=\dfrac{\sigma+\sigma_A+\sigma_B}{2\epsilon_0}=\dfrac{3}{2}\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$, con sentido hacia la izquierda.

$E_{II}=-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma_A}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma_B}{2\epsilon_0}=\dfrac{\sigma_A+\sigma_B-\sigma}{2\epsilon_0}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$, con sentido hacia la izquierda.

$E_{III}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma_A}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma_B}{2\epsilon_0}=\dfrac{\sigma+\sigma_A+\sigma_B}{2\epsilon_0}=\dfrac{3}{2}\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}$, con sentido hacia la derecha.

b) Aplico la ley de Gauss, utilizando un cilindro gaussiano que empiece dentro de la lámina conductora (cerca de la cara B), y acabe en la zona III,

$E_{III}S=\dfrac{q_{int}}{\epsilon_0}$,

$\dfrac{3}{2}\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}S=\dfrac{\sigma_BS}{\epsilon_0}$,

$\sigma_B=\dfrac{3}{2}\sigma$. Sustituyendo en (1),

$\sigma_A=\dfrac{\sigma}{2}$.

Tanto los valores del campo eléctrico como los valores de las densidades finales, coinciden con los valores de mi mensaje # 1. Pensaré si se trata de una casualidad.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

No es que sea una casualidad Lo que has demostrado en el aparte a) es que el campo en las zonas I, II y III serán el mismo independientemente de que se trate de una lámina conductora o no conductora, con carga total 2$\sigma$.

Trata de hallar los campos en el caso equivalente de una carga puntual Q rodeada concéntricamente por un cascarón conductor con carga 2Q usando el mismo procedimiento

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Lo que puse de que borraras el apartado a) era algo simbólico, no literal.

[JCB]

Hola a tod@s.

--- Condición campo nulo en el interior de la lámina conductora: $\dst \frac \sigma {2 \epsilon_0} + \frac {\sigma_A}{2 \epsilon_0} - \frac {\sigma_B}{2 \epsilon_0} = 0$

Antes de pasar al ejercicio con simetría esférica, y solo para confirmar, ¿ has obtenido lo anterior, Al2000, aplicando la ley de Gauss con una superficie que empiece dentro de la lámina conductora (cerca de la cara B) y acabe en la zona III, partiendo de lo siguiente ?

$\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}S+\dfrac{\sigma_A}{2\epsilon_0}S+\dfrac{\sigma_B}{2\epsilon_0}S=\dfrac{\sigma_BS}{\epsilon_0}$.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

No, sólo superponiendo los campos de las tres capas de carga. Claro, el conocimiento del campo de una carga superficial lo obtienes usando el teorema de Gauss o integración directa previamente (y que el campo sea nulo es una consecuencia de tener un conductor en condiciones electrostáticas).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Mi única objeción a lo que hiciste en tu primer mensaje es que, a mi modo de ver, lo estás haciendo al revés, estás poniendo la carreta delante del burro. Pero, considerando que llegas al resultado correcto, tal vez es simplemente que me choca que no lo hagas como yo digo jajajaja

[Alriga]

Por si es útil consultarlo, recuerdo un ejercicio con cierta similitud en el hilo Campo y potencial de 3 placas indefinidas con carga superficial

Saludos.

[JCB]

Gracias Alriga. Hilo muy interesante.

[JCB]

Hola a tod@s.

Sobre el ejercicio de una carga puntual Q, rodeada concéntricamente por un cascarón conductor con carga neta 2Q, considero 3 zonas. Zona I: $0<r<R_1$, zona II: $R_1<r<R_2$, zona III: $r>R_2$.

a) Campo eléctrico en las 3 zonas.

Aplicando Gauss, $E_I=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0r^2}$.

Por tratarse de un cascarón conductor, $E_{II}=0$.

Aplicando Gauss, $E_{III}=\dfrac{3Q}{4\pi\epsilon_0r^2}$.

b) Carga en la superficie interna y en la superficie externa del cascarón. Por influencia electrostática, en la cara interna del cascarón se induce una carga eléctrica –Q. Como la carga neta del cascarón es 2Q, necesariamente en la cara externa del cascarón debe haber una carga 3Q.

También puede demostrarse, creo, utilizando una superficie gaussiana en cada cara.

En la cara interna utilizo una superficie gaussiana que empieza en la zona I, muy cerca de la cara interna y acaba en la zona II.

$-E_IS+\cancelto{0}{E_{II}}S=\dfrac{\sigma_1 S}{\epsilon_0}$,

$-\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0R_1^2}=\dfrac{\sigma_1}{\epsilon_0}$,

$\sigma_1=-\dfrac{Q}{4\pi R_1^2}$.

En la cara externa utilizo una superficie gaussiana que empieza en la zona II y acaba en la zona III, muy cerca de la cara externa.

$\cancelto{0}{E_{II}}S+E_{III}S=\dfrac{\sigma_2 S}{\epsilon_0}$,

$\dfrac{3Q}{4\pi\epsilon_0R_2^2}=\dfrac{\sigma_2}{\epsilon_0}$,

$\sigma_2=\dfrac{3Q}{4\pi R_2^2}$.

Saludos cordiales,
JCB.