Potencial y Densidad entre planos - Bachillerato

[JCB]

Hola a tod@s.

... / ...
Este valor del potencial en "P" es independiente de si el campo eléctrico asociado es uniforme o no, ni de que la partícula se mueva en una línea recta con aceleración constante o en una curva.
... / ...

Esta frase es reveladora. Sin duda, aplicar el método energético para determinar directamente el potencial (como hace Al2000 en su mensaje # 13), es más correcto que aplicar el método energético para determinar el campo (como hice yo). Además, de esta manera, se da respuesta directa, y sin rodeos, al primer apartado del ejercicio.

La razón por la cual me decanté por el campo, es porque este, siempre me ha parecido un concepto más intuitivo y entendible (“perturbación en el espacio que origina una carga eléctrica”) que el de potencial.

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Si se usa el formalismo electrostático, la respuesta a la primera pregunta se obtiene planteando la constancia de la energía total:

$$\frac 1 2 m v_O^2 + q V_O = \frac 1 2 m v_P^2 + q V_P \quad \Rightarrow \quad V_P = V_O + \frac m {2 q} \left(v_O^2 - v_P^2\right)$$

Este valor del potencial en "P" es independiente de si el campo eléctrico asociado es uniforme o no, ni de que la partícula se mueva en una línea recta con aceleración constante o en una curva.

La determinación del campo ya es harina de otro costal y hace falta más información para obtenerlo si solo se dispone del dato del potencial en dos puntos. En este caso donde se especifica que la fuente del campo son planos infinitos, se conoce que el campo es uniforme y su cálculo es tan simple como hacer

$$E = \frac {\Delta V} {d_{OP}}$$

donde estoy omitiendo cualquier signo por simplificar.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Retomo el método energético del mensaje # 2 de Al2000. Según el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, es igual a la variación de su energía cinética. En nuestro caso, la fuerza del campo eléctrico sobre la partícula cargada, es la única fuerza que realiza trabajo.

$\sum{W}=\Delta E_c$

$qE\overline{OP}=\dfrac{1}{2}mv_P^2-\dfrac{1}{2}mv_O^2$

$E=\dfrac{(v_P^2-v_O^2)m}{2\overline{OP}q}$

Expresión que coincide con la hallada anteriormente, mediante Dinámica y Cinemática.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Si no hubiese sido por Al2000, al final, tendría que haberme tomado una aspirina

[Estelarelatividad23]

Hola a tod@s.

Estupendo, Al2000, si se considera $v_P=5\cdot10^5\ m/s$, entonces la cosa cambia por completo (has dado en el clavo, como siempre). En esta nueva situación, la partícula cargada positivamente se acelera. El campo resultante de los dos planos, tiene dirección horizontal y sentido positivo.

1) $E=\dfrac{(v_P^2-v_O^2)m}{2\overline{OP}q}=199,37\ N/C$.

2) $E=\dfrac{2\sigma}{2\epsilon_0}-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$. Despejando $\sigma$,

$\sigma=2E\epsilon_0=3,53\cdot10^{-19}\ C/m^2$

3) $V_P-V_O=-\displaystyle\int_{O}^{P}\vec{E}\vec{dl}=-\displaystyle\int_{O}^{P}\left\vert \vec{E} \right\vert\left\vert\vec{dl}\right\vert\cos0^{\circ}=-\left\vert\vec{E}\right\vert\overline{OP}$

$V_P=V_O-\left\vert\vec{E}\right\vert\overline{OP}=4,03\ V$

Saludos cordiales,
JCB.

Gracias totales por el tiempo la dedicación y la paciencia, te luciste y gracias a todos los que colaboraron, sin palabras.

[JCB]

Hola a tod@s.

Estupendo, Al2000, si se considera $v_P=5\cdot10^5\ m/s$, en lugar de $v_P=5\cdot10^3\ m/s$ (como se indicó inicialmente en el enunciado), entonces la cosa cambia por completo (has dado en el clavo, como siempre). En esta nueva situación, la partícula cargada positivamente se acelera. El campo resultante de los dos planos, tiene dirección horizontal y sentido hacia la derecha.

1) $E=\dfrac{(v_P^2-v_O^2)m}{2\overline{OP}q}=199,37\ N/C$.

2) $E=\dfrac{2\sigma}{2\epsilon_0}-\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}$. Despejando $\sigma$,

$\sigma=2\epsilon_0E=3,53\cdot10^{-19}\ C/m^2$

3) $V_P-V_O=-\displaystyle\int_{O}^{P}\vec{E}\vec{dl}=-\displaystyle\int_{O}^{P}\left\vert\vec{E} \right\vert\left\vert\vec{dl}\right\vert\cos0^{\circ}=-\left\vert\vec{E}\right\vert\overline{OP}$

$V_P=V_O-\left\vert\vec{E}\right\vert\overline{OP}=4,03\ V$

Saludos cordiales,
JCB.

[Estelarelatividad23]

Mira, revisa los datos que copiaste en tu primer mensaje. Simplemente no es posible, con esos datos, que el potencial en "P" sea menor que en "O", Nota que tiene que cumplirse que la suma de la energía cinética y la energía potencial eléctrica sea constante. Si la velocidad en "P" es menor entonces el potencial debe ser mayor.

¿No será que la velocidad en "P" no es 5x10^3 m/s sino más bien 5x10^5 m/s? La alternativa es que la carga no sea positiva sino lo opuesto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

No sé cómo pedir disculpas
tenías toda la razón era 5x10^5 m/s no se como me equivoqué en algo tan simple como poner la letra bien Hago todo desde el celular y a veces se me complica, perdón, seguramente si no me hubiera equivocado les hubiera dado igual que en el libro.
Gracias y disculpen

[Al2000]

Ni que hablar que estoy muy agradecida con la respuesta y la verdad que son unos genios pero si bien no entendía el ejercicio si tenía los resultados del mismo, la cosa es ver si podemos llegar a la solución, y las soluciones que tengo que son del libro se suponen que están bien son otras a las que vos me diste.

Vp= 4.0 V
Sigma= 3.5x10^-9 C/m^2

Esas serían las soluciones según el libro.

Mira, revisa los datos que copiaste en tu primer mensaje. Simplemente no es posible, con esos datos, que el potencial en "P" sea menor que en "O", Nota que tiene que cumplirse que la suma de la energía cinética y la energía potencial eléctrica sea constante. Si la velocidad en "P" es menor entonces el potencial debe ser mayor.

¿No será que la velocidad en "P" no es 5x10^3 m/s sino más bien 5x10^5 m/s? La alternativa es que la carga no sea positiva sino lo opuesto.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Gracias por comentar Richard. Después lo reviso. Ok, tienes razón.

[Richard R Richard]

$E=\dfrac{2\sigma}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=\dfrac{3\sigma}{2\epsilon_0}$. Despejando $\sigma$,

Hola estas seguro de eso? los planos tienen el mismo signo en carga y entre los planos ambos campos se oponen, para mi allí va una resta...

[JCB]

Hola a tod@s.

1) Aunque parece que no llegué al resultado correcto, voy a exponer el desarrollo. Así pondré en evidencia mis errores de cálculo (o concepto), y será más directo comprobar en que puntos los cometí. De esta manera, alguien nos podrá sacar de dudas, tanto a Estelarelatividad23, como a mí.

Ya que la partícula cargada positivamente, se desacelera en su movimiento hacia la derecha, supuse que el campo resultante de los dos planos, debía tener dirección horizontal y sentido hacia la izquierda.

Aplicando $\sum{F}=ma$

$qE=ma$

$$a=\dfrac{qE}{m}$$

Por Cinemática, $v_P^2=v_O^2+2a\overline{OP}$

$$a=\dfrac{v_P^2-v_O^2}{2\overline{OP}}$$

Igualando (1) con (2),

$E=\dfrac{(v_P^2-v_O^2)m}{2\overline{OP}q}=-37,45\ N/C$

2) Por otra parte, el campo resultante de los dos planos en la zona a considerar, es

$E=\dfrac{2\sigma}{2\epsilon_0}+\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}=\dfrac{3\sigma}{2\epsilon_0}$. Despejando $\sigma$,

$\sigma=\dfrac{2\epsilon_0E}{3}=-2,24\cdot 10^{-10}\ C/m^2$

3) Finalmente, el potencial en el punto P, lo obtuve así

$V_P-V_O=-\displaystyle\int_{O}^{P}\vec{E}\vec{dl}=-\displaystyle\int_{O}^{P}\left\vert\vec{E}\right\vert\left\vert\vec{dl}\right\vert\cos\pi=\left\vert\vec{E}\right\vert\overline{OP}$

$V_P=V_O+\left\vert\vec{E}\right\vert\overline{OP}=13,52\ V$

Saludos cordiales,
JCB.

[Estelarelatividad23]

Hola a tod@s.

Entiendo que se debe suponer que los dos planos infinitos son verticales, y que el movimiento de la partícula es sobre una superficie horizontal sin rozamiento. De esta manera se puede descartar el efecto de la gravedad. La partícula tiene, en realidad, una carga de $7,9\cdot 10^{-8}\ C$.

A continuación indico los resultados obtenidos, para que se puedan comparar: $\cancel{E=-37,95\ N/C}$ $E=37,95\ N/C$ (dirección horizontal y sentido hacia la izquierda). $\sigma=-2,24\cdot 10^{-10}\ C/m^2$. $\cancel{V_P=10,48\ V}$ $V_P=13,52\ V$.

Saludos cordiales,
JCB.

Ni que hablar que estoy muy agradecida con la respuesta y la verdad que son unos genios pero si bien no entendía el ejercicio si tenía los resultados del mismo, la cosa es ver si podemos llegar a la solución, y las soluciones que tengo que son del libro se suponen que están bien son otras a las que vos me diste.

Vp= 4.0 V
Sigma= 3.5x10^-9 C/m^2

Esas serían las soluciones según el libro.

[JCB]

A ver si me aclaro con los signos, y ahora es correcto, Al2000

[Al2000]

Revisa, el punto "P" debe tener un potencial mayor que el punto "O". Por cierto, poner un signo negativo en la magnitud del campo es incorrecto (e innecesario, si estás dando el sentido).

[JCB]

Hola a tod@s.

Entiendo que se debe suponer que los dos planos infinitos son verticales, y que el movimiento de la partícula es sobre una superficie horizontal sin rozamiento. De esta manera se puede descartar el efecto de la gravedad. La partícula tiene, en realidad, una carga de $7,9\cdot 10^{-8}\ C$.

A continuación indico los resultados obtenidos, para que se puedan comparar: $\cancel{E=-37,95\ N/C}$ $E=37,95\ N/C$ (dirección horizontal y sentido hacia la izquierda). $\sigma=-2,24\cdot 10^{-10}\ C/m^2$. $\cancel{V_P=10,48\ V}$ $V_P=13,52\ V$.

Saludos cordiales,
JCB.