Densidad de corriente de esfera con carga uniforme y en movimiento circular

[follonic]

El capitulo de magnetostática de 'Introduction to Electrodynamics" de Griffith(4ª ed) pone este problema que no viene en el solucionario:

“A uniformly charged solid sphere, of radius R ando total charge Q, is centered at the origin and spinning at a constant angular velocity w about the axis z. Find the current density $J$at any point(r, $\theta$, $\phi$) within the sphere”.

Yo lo he resuelto como sigue.

Si la esfera estuviese en reposo no habría cuestión, puesto que el propio enunciado del problema ya está planteando una esfera uniformemente cargada: todo punto tendría la misma densidad de carga $J$. Pero como la esfera gira sobre sí a una velocidad angular $w$ aplico $J=\rho v$.
Pues bien, teniendo en cuenta

a) que $v$ disminuye según disminye el radio $R$ de la esfera
b) que $v=r\omega$ y $r\rightarrow 0\ge r \ge R$
c) que la densidad de carga, en coordenadas esféricas(como pide el problema) sería(haciendo $\rho= R$ para escribir $d\rho$) en lugar de $dR$

$\displaystyle\rho=\frac{Q} {\displaystyle\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} R^2 sen\phi d\rho d\theta d\phi}$

quedaría esta ecuación:

$\displaystyle\rho=\frac{Q} {\displaystyle\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} R^2 sen\phi d\rho d\theta d\phi} r\omega$

es decir:


$\displaystyle \frac{3Q\omega r}{4\pi R^3}$

No estoy seguro de si todo ésto es un disparate. Lo que si veo es que, en la ecuación final, quedaría claro que de las tres componentes de las coordenadas esféricas(radio, longitud, latitud), sólo el radio $r$ es relevante para hallar la densidad de corriente en el 'any point' que pide GRIFFITH. Lo cual es congruente con la uniformidad de carga de la esfera.

Gracias y saludos

[carroza]

Hola. La densidad de corriente es un vector. Por tanto, deberías expresarlo como tal. Por otro lado, la velocidad no es, ni siquiera en modulo, $\omega r$, como puedes comprobar si consideras un punto que esté sobre el eje de rotación.

Un saludo

[JCB]

Hola a tod@s.

Utilizando coordenadas esféricas, $\vec{r}=r\sin\theta\cos\phi\hat i+r\sin\theta\sin\phi\hat j+ r\cos\phi\hat k$, $\vec{\omega}=\omega\hat k$.

$\vec{j}=\rho\vec{v}=\rho\vec{\omega}\times\vec{r}=\dfrac{3Q\omega r\sin\theta}{4\pi R^3}(-\sin\phi\hat i+\cos\phi\hat j)$

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Y puedes redondear escribiendo el último factor como $\hat \phi = - \mathrm {sen}\, \phi\, \hat i + \cos \phi \, \hat j$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[follonic]

Gracias a todos; qué alegría ver que no estaba desorientado