Momento dipolar magnético asociado a la corriente orbital de un átomo

[Erebus]

Tengo el siguiente problema:
Consideremos un átomo de hidrógeno cuya densidad de corriente orbital con densidad espacial media puede ser aproximada por la siguiente expresión (en coordenadas esféricas):

$\vec{J} = \frac{e \hbar r^3}{3^8 \pi m a^7} e^{-2r/3a} \sin{\theta}\cos^2{\theta} \hat{\phi},$

donde $e, \hbar, m, a$ son constantes, y $\hat{\phi}$ es el vector unitario en la dirección azimutal, el cual puede ser representado en la base unitaria cartesiana como:
$\hat{\phi}=-\sin{\phi}\hat{x}+\cos{\phi}\hat{y}$.
Hallar el momento dipolar magnético, $\vec{m}$, asociado a $\vec{J}$.


La solución que he esbozado se resume como sigue:
La relación que permite calcular $\vec{m}$ en términos de $\vec{J}$ es

$\vec{m} = \frac{1}{2} \int_{V} \vec{r}\times \vec{J} dV,$

donde $\vec{r}$ es el vector de posición y $V$ es el volumen esférico de integración.
Para simplificar el integrando, he desarrollado el producto vectorial
$<br /> \vec{r} \times \hat{\phi} = (x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}) \times (-\sin{\phi}\hat{x}+\cos{\phi}\hat{y}) = -z\cos{\phi}\hat{x} - z\sin{\phi}\hat{y} + (x\cos{\phi}+y\sin{\phi})\hat{z},<br />$
pero como
$<br /> x = r \cos{\phi} \sin{\theta}, \text{ }<br /> y = r \sin{\phi} \sin{\theta}, \text{ }<br /> z = r \cos{\theta},<br />$
entonces
$<br /> \vec{r} \times \hat{\phi} = r[-\cos{\theta}(\cos{\phi}\hat{x}+\sin{\phi}\hat{y})+\sin{\theta}\hat{z}].<br />$
El diferencial de volumen es: $dV = r^2 \sin{\theta} dr d\theta d\phi$ y desarrollando las integrales en $\phi$ (de 0 a $2\pi$) y en $\theta$ (de 0 a $\pi$) he obtenido

$\vec{m} = \frac{4}{15} \frac{e \hbar}{m 3^8 a^7} \left( \int_0^a r^6 e^{-2r/3a} dr \right) \hat{z}.$

La integral en $r$ (va de 0 a $a$ porque he supuesto que $a$ es el radio) se puede resolver por partes pero el proceso se repite 6 veces y después de algo de álgebra he llegado, finalmente, a

$\vec{m} = \frac{e\hbar}{2m}(6.4983 \times 10^{-6}) \hat{z}.$

• Primero quiero saber si el procedimiento que he seguido es correcto.
• Otra cosita: quiero encontrar una forma más rápida de resolver este problema. Pienso que, tal vez, considerando la simetría se pueda simplificar el procedimiento que he sugerido y que me parece bastante largo. O tal vez se logre sin pasarse a cartesianas como yo lo he hecho.

Pero en fin, prefiero que me ayuden con sus opiniones. Gracias.

[Erebus]

Comezaré a responderme solo, jeje.
$\vec{r} \times \hat{\phi} = -r \hat{\theta}.$
Esto es algo que no consideré. Ups.

[Erebus]

Aunque no sé cómo es que esto me ayudaría, porque el vector theta unitario varía con la posición, por lo que no puede salir de las integrales. Y la ventaja de los vectores unitarios cartesianos es ésa, que son constantes en magnitud y dirección y por eso salen de las integrales.