Ley de Biot-Savart y corrientes por cables infinitos

[follonic]

El problema de calcular la fuerza magnética $B$ creada en un punto $p$ por un cable conductor de corriente $I$ que es 'recto' e 'infinito' es un clásico; viene en todos los manuales que he visto de electromagnetismo, desde los de Física general hasta los de segundo curso a propósito de la ley Biot-Savart. Investigando un poco, he visto que el es el propio MAXWELL en la 1ra. edición del vol. II de su Treatise of Electricity and Magnetism el que, precisamente, comienza la parte de electromagnetismo con el caso "of an indefinitely long straight wire carrying an electric current"(epígrafe 477, p.129).

Supongo que el patriarca del electromagnetismo tendrá que ver que a partir de él, cualquier autor que se consulte se planteará este problema. Pero, a mi juicio, con el nivel de Física que tengo ahora, lo veo completamente irrelevante. Es un problema puramente teórico sin trascendencia práctica. Algunos tratan de solventar la 'infinitud' del cable conductor sustituyéndolo por un cable muy largo, lo cual que no tiene nada que ver porque son problemas distintos; o el cable es infinito o no lo es y las soluciones serán distintas: para el caso del cable infinito $\displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi x}$ (x: distancia del punto p medida en el eje x) y, para el caso del cable finito, la Ley de Biot-Savart sin más cuestión

El problema real es hallar $B$ cuando es creado por un segmento finito y, además, no necesariamente recto. Plantearse cables infinitos es cosa de matemáticos puros.

gracias y saludos

[Richard R Richard]

Hola, quizá no comprenda bien el trasfondo de la pregunta.

Podrías plantearte como calcular B exactamente en función de la relación de x sobre L, siendo L la longitud del hilo, haz entonces un cuadro comparativo de la diferencia hallada entre la suposición finita versus infinita . Coméntanos para que longitud el error se volvería despreciable.
Coméntanos también si el resto del circuito que no figura en los libros introduce algún error que no tenemos en cuenta en el cálculo teórico

Cualquier caso práctico un error por debajo de la tercer cifra significativa sería aceptable, los tester medidores de intensidad tampoco tienen demasiada precisión.

Cómo conclusión evalúa si sería más fácil aplicar siempre una fórmula sencilla, que no introduce errores groceros, o que nos replantearnos todos los cálculos que han permitido el desarrollo industrial de la transmisión energética de potencia eléctrica en el mundo durante más de un siglo,

Por eso entiendo que en todos los libros te enseñan ha hacer el cálculo matemático exacto para cada circuito, pero también a aplicar simplificaciones bastante precisas prácticamente para la mayoría de los casos prácticos

[follonic]

Podrías plantearte como calcular B exactamente en función de la relación de x sobre L, siendo L la longitud del hilo, haz entonces un cuadro comparativo de la diferencia hallada entre la suposición finita versus infinita . Coméntanos para que longitud el error se volvería despreciable.
Coméntanos también si el resto del circuito que no figura en los libros introduce algún error que no tenemos en cuenta en el cálculo teórico

Gracias. El campo magnético se vuelve despreciable en función de las necesidades del circuito. Tan sólo habría que aplicar la mencionada fórmula que he indicado para las corrientes por cables rectos infinitos, es decir, $\displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi x}$. A mayor x, menor campo magnético y, por tanto, mayores posibilidades de ser despreciable.

En cuanto al fondo de la pregunta, es simple: no existen cables de longitud infinita que transporten corrientes y, menos aún, que sean rectos. Pensando en solenoides, no creo que el problema del cable infinito haya de tenerse necesariamente en cuenta ni siquiera en monstruosidades como el CERN. Quizá peque de quisquilloso, pero pienso que la Física pura son resolver problemas físicos reales, no plantear hipótesis de laboratorio. Aunque el propio MAXWELL opine en contra(aunque él tiene bula, por supuesto)

[arivasm]

El campo magnético originado por una distribución de corriente cualquiera es (como mencionas, ley de Biot-Savart) $\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\vec j\times\vec r}{r^3}\dd V$, donde la integral se extiende a todo el espacio, lo que significa tomar en consideración todos los elementos de volumen con corriente, formen parte de corrientes lineales o ramificadas, rectas o no, etc ($\vec j$ es la densidad de corriente en cada elemento de volumen, $\dd V$, y $\vec r$ es el vector con origen en dicho elemento y extremo el punto de cálculo). Imagino que al principio el estudio experimental comenzaría por estructuras sencillas, como conductores rectilíneos y muy largos, pero actualmente para nada se restringe a tales casos. Insisto en que la ley es absolutamente general y aplicable a cualquier distribución de corrientes. La razón por la que en cursos iniciales de electromagnetismo se abordan esos casos sencillos (junto con la espira circular, el solenoide infinito y semejantes) es de tipo didáctico, no porque la ley tenga limitaciones. Por cierto que para un fragmento rectilíneo finito la ley también es muy sencilla: es análoga a un hilo infinito, solo que multiplicada por una diferencia de senos (mira el 2.1.2 de esta página).