Otras carreras Potencial eléctrico en un cono invertido

[JuanTara9705]

Considere un cono de altura h y radio basal h. La superficie (manto) del cono está cargada uniformemente con una densidad $\sigma$₀. Calcule el potencial en el centro de la base del cono.

Buenas a todos, les pido un gran favor a la comunidad si alguien puede ayudarme con este ejercicio, tengo la respuesta pero no he podido llegar al procedimiento. Tengo algo claro y es que se puede plantear por coordenadas cilíndricas o esféricas.

Agradezco el apoyo de ustedes!!!

[Al2000]

Plantéalo en coordenadas cilíndricas si te quieres ir por el camino largo. Si lo deseas hacer más sencillo, divide la superficie cónica en anillos y suma sus potenciales.

Si necesitas más ayuda, pregunta de nuevo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JCB]

Hola a tod@s.

Considero el sistema de coordenadas convencional $XY$. La superficie lateral del tronco de cono elemental es

$$dS=2\pi xdl$$

Por otra parte si $\theta$ es el ángulo que forma la generatriz con el eje $Y$,

$$\sin\theta=\dfrac{x}{l}=\dfrac{h}{L}$$

Como se cumple $h^2+h^2=L^2$, $L=\sqrt{2}h$. Sustituyendo en (2),

$\dfrac{x}{l}=\dfrac{h}{\sqrt{2}h}$

$l=\sqrt{2}x$

$dl=\sqrt{2}dx$. Sustituyendo en (1),

$dS=\sqrt{8}\pi xdx$

La distancia $d$ de la carga superficial del tronco de cono elemental, al centro de la base del cono es $d=\sqrt{x^2+(h-x)^2}$.

$V=k\displaystyle\int \dfrac{dq}{d}=k\displaystyle\int \dfrac{\sigma dS}{d}=k\sigma \sqrt{8}\pi\displaystyle\int_{0}^{h}\dfrac{xdx}{\sqrt{x^2+(h-x)^2}}$

Y hasta aquí he llegado.

Saludos cordiales,
JCB.