1r ciclo Diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos

[JuanTara9705]

Calcular:

1). Cuál es la diferencia de potencial eléctrico de A en B?
2). Cuál es el trabajo para llevar a la carga Q_p+, desde B hacia A, en las trayectorias T₁,T₂ y T₃?, que conclusión puede obtener.

Buenas a toda la comunidad, de nuevo les pido una ayuda o si me pueden explicar como puedo resolver este ejercicio, me lo dejaron para poder exponer en clase, pero la introducción de los temas fue poca. Tengo entendido o una idea de que debo resolver primero el potencia eléctrico que hay entre el punto A y B y luego proceder a calcular la diferencia de potencial eléctrico, pero no estoy tan seguro si es así y los conceptos no me están muy claros. Nota: las dos cargas tiene un valor de 1[$\mu$C], y las coordenadas son; A(1,1) y B(3,3).

Les agradezco como siempre grandemente, por sus apoyos o respuestas.

[Al2000]

1) Partiendo del potencial de una carga puntual, $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac q r$, la diferencia de potencial entre A y B sería

$$V_A - V_B = \frac Q {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac 1 {r_A} - \frac 1 {r_B}\right)$$

2) Hay que evaluar la integral de línea $W = \int_T \boldsymbol F \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r$ para cada una de las trayectorias. La fuerza (o la fuerza a vencer, dependiendo de cual trabajo estés evaluando) es la fuerza de repulsión culombiana entre ambas cargas, $\dst \boldsymbol F = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q Q_p}{r^3}\, \boldsymbol r$.

La trayectoria $T_3$ es radial y el cálculo es sencillo:

$$W_{BA} = \int_{T_3} \boldsymbol F \cdot d \boldsymbol r = \int_{r_B}^{r_A}\!\! \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q Q_p}{r^2}\, dr$$

En las trayectorias $T_1$ y $T_3$ el cálculo no es tan directo pero se puede hacer en forma sencilla pues los tramos que componen cada trayectoria son rectos y paralelos a uno de los ejes. Te ilustro el cálculo con la trayectoria $T_1$ y te dejo la $T_2$.

Si escribes la fuerza y el diferencial de longitud en coordenadas cartesianas, la cosa queda

$$\boldsymbol F = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q Q_p}{\left(x^2 + y^2\right)^{3/2}}\,(x\, \boldsymbol i + y \boldsymbol j)\,,\quad d \boldsymbol r = dx\, \boldsymbol i + dy\, \boldsymbol j$$

Nota que en el segmento que va desde el punto B hasta el punto $(x_B,y_A)$, el valor de la coordenada $x$ es constante ($x_B$) y por lo tanto el diferencial $dx$ es cero. En el segmento que va desde $(x_B,y_A)$ hasta el punto A es $y = y_A$ el valor constante y el diferencial $dy$ será cero. El cálculo sigue así:

$$W_{BA} = \int_{T_!} \boldsymbol F \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r =\frac {Q Q_p}{4 \pi \epsilon_0}\left[ \int_{y_B}^{y_A}\!\! \frac y {\left(x_B^2 + y^2\right)^{3/2}}\, dy + \int_{x_B}^{x_A}\!\! \frac x {\left(x^2 + y_A^2\right)^{3/2}}\, dx \right]$$

(Lo he escrito directo, de manera que revisa, has los pasos intermedios)

Saludos,

$\mathcal A \ell$

EDITO: En la primera integral de la última expresión, donde puse $x_A$ es $x_B$. Corrijo el error en la expresión.

[JuanTara9705]

Muchas gracias @Al me explicaste mejor que los tutores.

[JuanTara9705]

Disculpa y te puedo pedir otra ayuda o me puedes explicar que pasaría si la trayectoria de T3, fuese un arco de circunferencia o mejor dicho una longitud de arco, como podría calcularla, muchas gracias por la atención y tu tiempo. Al2000

Nota: El profe no da la explicación a detalle y nos pone preguntas como esas en el examen pero sin una retroalimentación.

[Richard R Richard]

Hola JuanTara9705 la diferencia de potencial entre los puntos B y A es independiente del camino que sigas, sea este por 1 , 2 o 3 , sea una recta o una curva,... la diferencia de potencial solo depende de los puntos inicial y final de la trayectoria, osea siempre $\Delta V=V_B-V_A$ elijas el camino que elijas.

Puedes hacer el calculo integral si quieres parametrizando la curva, si lo que te interesa es realmente aprender como sería ese calculo, pero si ya sabes cuanto da ese calculo de otra manera , pues te conviene hacerlo de la manera matemática mas corta, pues dará el mismo resultado que otra mas compleja y larga.

[JCB]

Hola a tod@s.

En todo de acuerdo con los compañeros Al2000 y Richard R Richard.

La diferencia de potencial entre los puntos A y B representa el trabajo por unidad de carga eléctrica positiva, que se requiere para efectuar tal desplazamiento. Si llevamos la unidad de carga eléctrica positiva de B a A,

$V_A-V_B=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_A}-\dfrac{1}{r_B}\right)=\dfrac{W_{BA}}{q}$

Luego, el trabajo para llevar la carga $Q_p$ de B a A, será

$W_{BA}=(V_A-V_B)Q_p=\dfrac{QQ_p}{4\pi\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_A}-\dfrac{1}{r_B}\right)$

Saludos cordiales,
JCB.

[Al2000]

Disculpa y te puedo pedir otra ayuda o me puedes explicar que pasaría si la trayectoria de T3, fuese un arco de circunferencia...

Bueno, tu pregunta está incompleta pues un arco de circunferencia no lo puedes definir con solo dos puntos. Tendrías que especificar el centro, por ejemplo, para definir bien la trayectoria.

En forma general, para una curva cualquiera habría que parametrizar la curva y resolver la integral de línea en función del parámetro elegido. Para poner un ejemplo, considera el caso más fácil en el cual el centro de la circunferencia caiga en la esquina inferior derecha del cuadrado en el dibujo de tu mensaje inicial. Voy a llamar a ese punto el punto "C". El arco de circunferencia que une el punto B con el punto A se podría parametrizar como

$$x = x_C - a \, \mathrm {sen} \, t \,, \quad y = y_C + a \cos t$$

donde he llamado $a$ al radio del arco y el parámetro $t$ corre desde 0 hasta $\pi/2$. El elemento de longitud lo obtienes diferenciando las expresiones anteriores

$$dx = -a \cos t\, dt\,, \quad dy = -a \, \mathrm {sen} \, t \, dt$$

y el trabajo quedaría

$$W_{BA} = \int_{T_3'} \boldsymbol F \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r =\frac {Q Q_p}{4 \pi \epsilon_0}\left[ \int_{t=0}^{t=\pi/2}\!\! \frac {x\,dx + y\,dy} {\left(x^2 + y^2\right)^{3/2}} \right]$$

Sustituye los valores de $x, y, dx, dy$ en función de $t$ e integra.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JuanTara9705]

Muchas gracias a todos por toda la guía y respuesta que me han dado, pude comprender mejor lo conceptos y las fórmulas matemáticas, espero poder preguntarles de nuevo si tengo otra duda. Al2000 JCB Richard R Richard